Equazione numeri complessi
Buon giorno a tutti 
C'è un problema che proprio non riesco a risolvere ed è il seguente.
Sia data l'equazione con numeri complessi:
z^2 - (z coniugato)^2 = 5|z|
quante soluzioni ammette tale equazione?.
Io ho ragionato in questo modo:
1) Pongo z = x + iy
2) Svolgendo dei calcoli arrivo a
(x + iy - x + iy)*(x + iy + x - iy) = 5* radice(x^2 + y^2)
(2iy)(2x) = 5* radice(x^2 + y^2)
(-4 y^2) (4 x^2) = 25 (x^2 + y^2)
-16(x^2 * Y^2) = 25 (x^2 + y^2)
3) x^2 * y^2 e x^2 + y^2 sono due quantità necessariamente positive. SI deduce allora che il termine
-16(x^2 * Y^2) è negativo mentre il termine +25 (x^2 + y^2) è positivo
4) Una grandezza positiva ed una negativa non potranno mai essere uguali a meno che entrambe siano uguali a 0.
5) Per far si che i due termini dell'equazione siano uguali a 0, pongo X = Y = 0
6) Arrivo così alla conclusione che l'unica soluzione accettabile è Z=0.
Il ragionamento a me sembra funzionare ma sono ancora fortemente insicuro su questi argomenti quindi vorrei una conferma, grazie mille in anticipo
C'è un problema che proprio non riesco a risolvere ed è il seguente.
Sia data l'equazione con numeri complessi:
z^2 - (z coniugato)^2 = 5|z|
quante soluzioni ammette tale equazione?.
Io ho ragionato in questo modo:
1) Pongo z = x + iy
2) Svolgendo dei calcoli arrivo a
(x + iy - x + iy)*(x + iy + x - iy) = 5* radice(x^2 + y^2)
(2iy)(2x) = 5* radice(x^2 + y^2)
(-4 y^2) (4 x^2) = 25 (x^2 + y^2)
-16(x^2 * Y^2) = 25 (x^2 + y^2)
3) x^2 * y^2 e x^2 + y^2 sono due quantità necessariamente positive. SI deduce allora che il termine
-16(x^2 * Y^2) è negativo mentre il termine +25 (x^2 + y^2) è positivo
4) Una grandezza positiva ed una negativa non potranno mai essere uguali a meno che entrambe siano uguali a 0.
5) Per far si che i due termini dell'equazione siano uguali a 0, pongo X = Y = 0
6) Arrivo così alla conclusione che l'unica soluzione accettabile è Z=0.
Il ragionamento a me sembra funzionare ma sono ancora fortemente insicuro su questi argomenti quindi vorrei una conferma, grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao Ermete22,
Benvenuto sul forum!
C'è qualcosa che non mi torna nei tuoi calcoli, ma intanto provo a riscrivere l'equazione per vedere se ho capito bene:
$z^2 - \bar z^2 = 5|z| $
Se è così, sicuramente $z = 0 $ è una soluzione. Poi la scriviamo come:
$(z - \bar z)(z + \bar z) = 5|z| $
Ora $z - \bar z = 2i Im z = 2iy $, $z + \bar z = 2 Re z = 2x $ per cui si ha:
$4ixy = 5sqrt{x^2 + y^2} $
Qui l'unica possibilità è $x = 0 $ e $y = 0 $ che ci riporta all'unica soluzione $z = 0 $.
Benvenuto sul forum!
C'è qualcosa che non mi torna nei tuoi calcoli, ma intanto provo a riscrivere l'equazione per vedere se ho capito bene:
$z^2 - \bar z^2 = 5|z| $
Se è così, sicuramente $z = 0 $ è una soluzione. Poi la scriviamo come:
$(z - \bar z)(z + \bar z) = 5|z| $
Ora $z - \bar z = 2i Im z = 2iy $, $z + \bar z = 2 Re z = 2x $ per cui si ha:
$4ixy = 5sqrt{x^2 + y^2} $
Qui l'unica possibilità è $x = 0 $ e $y = 0 $ che ci riporta all'unica soluzione $z = 0 $.
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