Equazione numeri complessi
Buonasera.
Comincio con il complimentarmi per il grandissimo e preziosissimo lavoro che svolgete.
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio: z^4 -2i√3z^2 -4=0
Nonostante io abbia letto tutto quello che sono riuscita a trovare riguardo ai numeri complessi, non so come comportarmi davanti a quella radice.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Comincio con il complimentarmi per il grandissimo e preziosissimo lavoro che svolgete.
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio: z^4 -2i√3z^2 -4=0
Nonostante io abbia letto tutto quello che sono riuscita a trovare riguardo ai numeri complessi, non so come comportarmi davanti a quella radice.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao, intanto puoi iniziare ponendo (es.) $t=z^2$ e risolvere l'equazione di secondo grado $t^2-2i \sqrt(3) t-4=0$.
Poi, quando fai la sostituzione inversa, ricavi $z$ in base alle soluzioni che trovi.
Poi, quando fai la sostituzione inversa, ricavi $z$ in base alle soluzioni che trovi.
Ciao tere10,
Benvenuta sul forum!
E già cominci bene... Grazie! 
Qui ti faccio una domanda io: perché non sai come comportarti? Le radici sono numeri reali come tutti gli altri...
L'equazione che hai proposto è una biquadratica, seppure in $\CC $, per cui si può senz'altro accogliere l'ottimo consiglio che ti ha già dato zero87... Però si può anche fare diversamente, osservando che l'equazione proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$(z^2 - isqrt{3})^2 - 1 = 0 \implies (z^2 - isqrt{3}) = \pm 1 \implies z^2 = \pm 1 + isqrt{3}$.
Per cui si hanno i due casi seguenti:
1) $z^2 = 1 + isqrt{3} \implies z_{1,2} = \pm sqrt{1 + isqrt{3}} = \pm sqrt{frac{9 + 6isqrt{3} +(isqrt{3})^2}{6}} = \pm sqrt{frac{(3 + isqrt{3})^2}{(sqrt{6})^2}} = $
$ = \pm (frac{sqrt{6}}{2} + i frac{sqrt{2}}{2}) $
2) $z^2 = - 1 + isqrt{3} \implies z_{3,4} = \pm sqrt{- 1 + isqrt{3}} = \pm sqrt{frac{1 + 2isqrt{3} +(isqrt{3})^2}{2}} = \pm sqrt{frac{(1 + i sqrt{3})^2}{(sqrt{2})^2}} = $
$ = \pm (frac{sqrt{2}}{2} + i frac{sqrt{6}}{2}) $
In definitiva l'equazione proposta ha le $4$ soluzioni seguenti:
$z_1 = frac{sqrt{6}}{2} + i frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2} e^{i\pi/6} = sqrt{2}[cos(pi/6) + i sin(pi/6)] $
$z_2 = - frac{sqrt{6}}{2} - i frac{sqrt{2}}{2} = - sqrt{2} e^{i\pi/6} = sqrt{2} e^{i frac{7\pi}{6}} = sqrt{2}[cos(frac{7pi}{6}) + i sin(frac{7pi}{6})]$
$z_3 = frac{sqrt{2}}{2} + i frac{sqrt{6}}{2} = sqrt{2} e^{i\pi/3} = sqrt{2}[cos(pi/3) + i sin(pi/3)] $
$z_4 = - frac{sqrt{2}}{2} - i frac{sqrt{6}}{2} = - sqrt{2} e^{i\pi/3} = sqrt{2} e^{i frac{4\pi}{3}}= sqrt{2}[cos(frac{4pi}{3}) + i sin(frac{4pi}{3})]$
Benvenuta sul forum!
"tere10":
Comincio con il complimentarmi per il grandissimo e preziosissimo lavoro che svolgete.
E già cominci bene...
Grazie! "tere10":
non so come comportarmi davanti a quella radice.
Qui ti faccio una domanda io: perché non sai come comportarti? Le radici sono numeri reali come tutti gli altri...
L'equazione che hai proposto è una biquadratica, seppure in $\CC $, per cui si può senz'altro accogliere l'ottimo consiglio che ti ha già dato zero87... Però si può anche fare diversamente, osservando che l'equazione proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$(z^2 - isqrt{3})^2 - 1 = 0 \implies (z^2 - isqrt{3}) = \pm 1 \implies z^2 = \pm 1 + isqrt{3}$.
Per cui si hanno i due casi seguenti:
1) $z^2 = 1 + isqrt{3} \implies z_{1,2} = \pm sqrt{1 + isqrt{3}} = \pm sqrt{frac{9 + 6isqrt{3} +(isqrt{3})^2}{6}} = \pm sqrt{frac{(3 + isqrt{3})^2}{(sqrt{6})^2}} = $
$ = \pm (frac{sqrt{6}}{2} + i frac{sqrt{2}}{2}) $
2) $z^2 = - 1 + isqrt{3} \implies z_{3,4} = \pm sqrt{- 1 + isqrt{3}} = \pm sqrt{frac{1 + 2isqrt{3} +(isqrt{3})^2}{2}} = \pm sqrt{frac{(1 + i sqrt{3})^2}{(sqrt{2})^2}} = $
$ = \pm (frac{sqrt{2}}{2} + i frac{sqrt{6}}{2}) $
In definitiva l'equazione proposta ha le $4$ soluzioni seguenti:
$z_1 = frac{sqrt{6}}{2} + i frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{2} e^{i\pi/6} = sqrt{2}[cos(pi/6) + i sin(pi/6)] $
$z_2 = - frac{sqrt{6}}{2} - i frac{sqrt{2}}{2} = - sqrt{2} e^{i\pi/6} = sqrt{2} e^{i frac{7\pi}{6}} = sqrt{2}[cos(frac{7pi}{6}) + i sin(frac{7pi}{6})]$
$z_3 = frac{sqrt{2}}{2} + i frac{sqrt{6}}{2} = sqrt{2} e^{i\pi/3} = sqrt{2}[cos(pi/3) + i sin(pi/3)] $
$z_4 = - frac{sqrt{2}}{2} - i frac{sqrt{6}}{2} = - sqrt{2} e^{i\pi/3} = sqrt{2} e^{i frac{4\pi}{3}}= sqrt{2}[cos(frac{4pi}{3}) + i sin(frac{4pi}{3})]$
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