Equazione numeri complessi
Ciao a tutti 
Sono alle prese con la seguente equazione complessa $z^3$z(coniugato) $= 2+2sqrt(3) i$
io ho proseguito per via algebrica ponendo $z = a + ib$ e z (coniugato) $=a-ib$
$(a+ib)^3 (a-ib) = 2 + 2sqrt(3)i$
ho svolto i conti (che non riporto in quanto sono tantissimi) e ho ottenuto
$a^4 + 2aib^3 + 2 a^3ib - b^4 = 2 + 2sqrt(3) i$
ho uguagliato la parte algebrica e quella immaginaria, ottenendo un sistema composto da due equazioni
1) $a^4 - b^4 = 2$
2) $2ab^3 + 2a^3b = 2 sqrt(3)$
ora? Io ho tentato di ricavare $a^4 - b^4 = 2 --> $(a^2 - b^2)(a^2+b^2) = 2$ ma poi con varie sostituzioni arrivo sempre a punti morti...
Secondo voi va bene questo approccio, o ho sbagliato fin dall'inizio?
Grazie
Sono alle prese con la seguente equazione complessa $z^3$z(coniugato) $= 2+2sqrt(3) i$
io ho proseguito per via algebrica ponendo $z = a + ib$ e z (coniugato) $=a-ib$
$(a+ib)^3 (a-ib) = 2 + 2sqrt(3)i$
ho svolto i conti (che non riporto in quanto sono tantissimi) e ho ottenuto
$a^4 + 2aib^3 + 2 a^3ib - b^4 = 2 + 2sqrt(3) i$
ho uguagliato la parte algebrica e quella immaginaria, ottenendo un sistema composto da due equazioni
1) $a^4 - b^4 = 2$
2) $2ab^3 + 2a^3b = 2 sqrt(3)$
ora? Io ho tentato di ricavare $a^4 - b^4 = 2 --> $(a^2 - b^2)(a^2+b^2) = 2$ ma poi con varie sostituzioni arrivo sempre a punti morti...
Secondo voi va bene questo approccio, o ho sbagliato fin dall'inizio?
Grazie
Risposte
Non so se ci sono vie migliori, comunque partendo da
1) $a^4 - b^4 = 2$
2) $2ab^3 + 2a^3b = 2 sqrt(3)$
Puoi trasformare
la prima equazione in $(a^2 - b^2)(a^2+b^2) = 2$
e la seconda in $a^2+b^2=sqrt3/(ab)$, poi sostituendo ottieni $(a^2 - b^2)*sqrt3/(ab) = 2$ da cui puoi ricavare $a$ in funzione di $b$...
1) $a^4 - b^4 = 2$
2) $2ab^3 + 2a^3b = 2 sqrt(3)$
Puoi trasformare
la prima equazione in $(a^2 - b^2)(a^2+b^2) = 2$
e la seconda in $a^2+b^2=sqrt3/(ab)$, poi sostituendo ottieni $(a^2 - b^2)*sqrt3/(ab) = 2$ da cui puoi ricavare $a$ in funzione di $b$...
Ciao,
Ho "sposato" la tua idea...mi sembra ottima!! Non me ne ero accorto a occhio XD ho trovato $a = (sqrt(3)b)/(sqrt(3) - 2b)$ ora ho posto il tutto nella prima equazione...amdando incontro a notevoli difficoltà nei conti... Ma d'altronde b devo ricavarla, e questo mi sembra il modi corretto
Ho "sposato" la tua idea...mi sembra ottima!! Non me ne ero accorto a occhio XD ho trovato $a = (sqrt(3)b)/(sqrt(3) - 2b)$ ora ho posto il tutto nella prima equazione...amdando incontro a notevoli difficoltà nei conti... Ma d'altronde b devo ricavarla, e questo mi sembra il modi corretto
Potresti provare la forma esponenziale dei numeri complessi .$z=rho*e^(itheta) ; barz = rho *e^(-itheta) $
"gugione":
ho svolto i conti (che non riporto in quanto sono tantissimi)
Non necessariamente
$(a+ib)^3(a-ib)=(a+ib)^2(a+ib)(a-ib)=(a^2-b^2+2iab)(a^2+b^2)=$
$a^4-a^2b^2+2ia^3b+a^2b^2-b^4+2iab^3=a^4+2ia^3b+2iab^3-b^4$.
Comunque la tua equazione
$z^3\bar(z)=2+2i\sqrt(3)$
è equivalente - se non erro - a
$z^2 |z|^2=2+2i\sqrt(3)$.
Sapendo - si fa per dire (basta fare 2 calcoli) - che le 2 radici di $2+2i\sqrt(3)$ sono $\sqrt(3)+i$ e $-\sqrt(3)-i$, hai le seguenti 2 equazioni da risolvere
$z |z|=\sqrt(3)+i$
e $z |z|= -\sqrt(3)-i$.
Che dovrebbero essere più semplici, o almeno credo.
grazie per le risposte. Si, zero81, l'equazione é equivalente (anche se non riesco a far tornare la scomposizione di $2 + 2sqrt(3)$ 
il problema é che quando la risolvi sei costretto a elevare al quadrato (causa radice del modulo) e si torna punto a capo con l'eq. di partenza per quanto riguarda la possibile forma esponenziale, sono fermo anche li $q^2e^(3io) (qe^(-io)) = 2 +2sqrt(3)i$
dove q = modulo; o = angolo
$q[q^2e^(3io)e^(-io)] = 2+2sqrt(3)i$
ora? Bisogna confrontare parte reale e immaginaria?
il problema é che quando la risolvi sei costretto a elevare al quadrato (causa radice del modulo) e si torna punto a capo con l'eq. di partenza per quanto riguarda la possibile forma esponenziale, sono fermo anche li $q^2e^(3io) (qe^(-io)) = 2 +2sqrt(3)i$dove q = modulo; o = angolo
$q[q^2e^(3io)e^(-io)] = 2+2sqrt(3)i$
ora? Bisogna confrontare parte reale e immaginaria?
\(\left(a+ib\right)^{3}(a-ib)=2+2\sqrt{3}i\)
Passando ai moduli si ottiene:
\(\left|a+ib\right|^{3}\left|a-ib\right|=\sqrt{4+12}=4\)
\(\left|a+ib\right|^{4}=4\)
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=4\)
\(a^{2}+b^{2}=2\)
Passando ai coniugati nell'equazione di partenza si ottiene:
\(\left(a-ib\right)^{3}(a+ib)=2-2\sqrt{3}i\)
addizionando le due equazioni
\(\left(a+ib\right)^{3}(a-ib)+\left(a-ib\right)^{3}(a+ib)=4\)
Mettendo in evidenza
\(\left(a+ib\right)\left(a-ib\right)\left[\left(a+ib\right)^{2}+\left(a-ib\right)^{2}\right]=4\)
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left[2a^{2}-2b^{2}\right]=4\)
\(4\left(a^{2}-b^{2}\right)=4\)
\(a^{2}-b^{2}=1\)
da questa e dalla precedente equazione si deduce:
\(a^{2}=\frac{3}{2},b^{2}=\frac{1}{2}\)
Passando ai moduli si ottiene:
\(\left|a+ib\right|^{3}\left|a-ib\right|=\sqrt{4+12}=4\)
\(\left|a+ib\right|^{4}=4\)
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=4\)
\(a^{2}+b^{2}=2\)
Passando ai coniugati nell'equazione di partenza si ottiene:
\(\left(a-ib\right)^{3}(a+ib)=2-2\sqrt{3}i\)
addizionando le due equazioni
\(\left(a+ib\right)^{3}(a-ib)+\left(a-ib\right)^{3}(a+ib)=4\)
Mettendo in evidenza
\(\left(a+ib\right)\left(a-ib\right)\left[\left(a+ib\right)^{2}+\left(a-ib\right)^{2}\right]=4\)
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left[2a^{2}-2b^{2}\right]=4\)
\(4\left(a^{2}-b^{2}\right)=4\)
\(a^{2}-b^{2}=1\)
da questa e dalla precedente equazione si deduce:
\(a^{2}=\frac{3}{2},b^{2}=\frac{1}{2}\)
"gugione":
Si, zero81
Magari non mi manca molto, ma non sono ancora così vecchio.
Comunque sì, mi ero un po' illuso che i calcoli si semplificassero, ma ho passato la pausa pranzo a casa a incartarmi con gli stessi e alla fine ho lasciato perdere.
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