Equazione nel campo dei numeri complessi
Salve a tutti, chiedo scusa per il disturbo ma sto incontrando difficoltà nel risolvere questo esercizio, che ho trovato in una scorsa prova d'esame:
1)risolvere nel campo dei numeri complessi l'equazione:
\[(z^3-1)=0\]
2)se:
\[(z^3-1)P(z)=z^5-4z^4+13z^3-z^2+4z-13\]
calcolare nel campo dei numeri complessi le soluzioni dell'equazione P(z) = 0.
Avevo pensato di dividere entrambi i membri per \((z^3-1)\) ma poi mi blocco e non so come andare avanti. Ho paura di non aver capito a pieno cosa richiede l'esercizio. Grazie in anticipo
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1)risolvere nel campo dei numeri complessi l'equazione:
\[(z^3-1)=0\]
2)se:
\[(z^3-1)P(z)=z^5-4z^4+13z^3-z^2+4z-13\]
calcolare nel campo dei numeri complessi le soluzioni dell'equazione P(z) = 0.
Avevo pensato di dividere entrambi i membri per \((z^3-1)\) ma poi mi blocco e non so come andare avanti. Ho paura di non aver capito a pieno cosa richiede l'esercizio. Grazie in anticipo
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Risposte
You only have to divide $z^5-4z^4+13z^3-z^2+4z-13$ by $z^3-1$. Then, the solution will be clear.
La prima si risolve facilmente con la formula di De Moivre.
Per la seconda, il polinomio a secondo membro può essere riscritto come :
quindi :
questa è una semplice equazione di secondo grado che sicuramente sai risolvere
Per la seconda, il polinomio a secondo membro può essere riscritto come :
\(\displaystyle (z^5-4z^4+13z^3) - (z^2-4z+13) = z^3(z^2-4z+13) - (z^2-4z+13) = (z^3-1)(z^2-4z+13) \)
quindi :
\(\displaystyle (z^3-1)\;P(z) = (z^3-1)(z^2-4z+13) \;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;P(z) = z^2-4z+13 = 0 \)
questa è una semplice equazione di secondo grado che sicuramente sai risolvere
grazie mille!
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