Equazione nel campo complesso
Ragazzi ho bisogno di un suggerimento circa la risoluzione di un'equazione nel campo complesso:
$ z(z^3 - i + 1) = 0 $
Ora una soluzione è sicuramente z=0.
Poi c'è da risolvere
$ z^3 = + i - 1 $, penso sia comodo calcolarlo con il metodo trigonometrico, quello che vorrei capire è se la cosa corretta è calcolare $ root(3)(+i -1) $ con questo metodo o sto sbagliando?
$ z(z^3 - i + 1) = 0 $
Ora una soluzione è sicuramente z=0.
Poi c'è da risolvere
$ z^3 = + i - 1 $, penso sia comodo calcolarlo con il metodo trigonometrico, quello che vorrei capire è se la cosa corretta è calcolare $ root(3)(+i -1) $ con questo metodo o sto sbagliando?
Risposte
esattamente!! no nn stai sbagliando!! anzi già che siamo in tema ti pongo una domanda che la trovi nella stessa sezione sotto il nome "Equazioni nel campo complesso"!!! in analisi matematica!!!
"No_Rules":
Ragazzi ho bisogno di un suggerimento circa la risoluzione di un'equazione nel campo complesso:
$ z(z^3 - i + 1) = 0 $
Ora una soluzione è sicuramente z=0.
Poi c'è da risolvere
$ z^3 = + i - 1 $, penso sia comodo calcolarlo con il metodo trigonometrico, quello che vorrei capire è se la cosa corretta è calcolare $ root(3)(+i -1) $ con questo metodo o sto sbagliando?
dipende da come procedi dopo, vai avanti.
io direi di mettere $-1+i$ in forma trigonometrica e usare la regola della moltiplicazione tra complessi scritti in forma trigonometrica (i moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano)
avresti
$(r,theta)^3=(sqrt(2), 3/4pi)$ (dove $(r,theta)=r(cos(theta)+isin(theta))$)
se non ho sbagliato i conti
e poi noti che
$(r,theta)^3=(r^3,3theta)$ per la regola di cui parlavo sopra.
E poi basta risolvere il sistema
${ ( r^3=sqrt(2) ),( 3theta=3/4pi+2kpi):} $
$ k in {0,1,2} $
Non so se è il metodo più rapido, comunque a me piace risolverle così...
nb. rifai tutto il calcolo perchè potrei aver fatto qualche errorino.
avresti
$(r,theta)^3=(sqrt(2), 3/4pi)$ (dove $(r,theta)=r(cos(theta)+isin(theta))$)
se non ho sbagliato i conti
e poi noti che
$(r,theta)^3=(r^3,3theta)$ per la regola di cui parlavo sopra.
E poi basta risolvere il sistema
${ ( r^3=sqrt(2) ),( 3theta=3/4pi+2kpi):} $
$ k in {0,1,2} $
Non so se è il metodo più rapido, comunque a me piace risolverle così...
nb. rifai tutto il calcolo perchè potrei aver fatto qualche errorino.
io lo risolverei in questo modo:
$z=0$
$z^3+i+1=0$
$z^3=-1-i$
ora devi cercare le radici complesse di questa equazione che equivale a dire :
$z=+-root(3)(-1-i)
calcola $rho$ e $theta$ e usa la forma trignonometrica!!!
$z=0$
$z^3+i+1=0$
$z^3=-1-i$
ora devi cercare le radici complesse di questa equazione che equivale a dire :
$z=+-root(3)(-1-i)
calcola $rho$ e $theta$ e usa la forma trignonometrica!!!
"paolotesla91":
io lo risolverei in questo modo:
$z=0$
$z^3+i+1=0$
$z^3=-1-i$
ora devi cercare le radici complesse di questa equazione che equivale a dire :
$z=+-root(3)(-1-i)
calcola $rho$ e $theta$ e usa la forma trignonometrica!!!
???
non sei daccordo pareid?
quante soluzioni in $CC$ ti aspetti da un'equazione complessa di terzo grado?
per trovare le radici $n$-esime di un numero complesso c'è un metodo ben preciso...
per trovare le radici $n$-esime di un numero complesso c'è un metodo ben preciso...
si certo da un equazione di terzo grado ovviamente esistono tre radici più la radice $z=0$!!! forse non mi sono spiegato bene... allora una volta calcolati $rho$ e $theta$ basta applicare questa formula : $\omega_k=root(n)(rho)(cos((theta+2k\pi)/n)+isin((theta+2k\pi)/n)$ con k=0,1,2,3....
"paolotesla91":
si certo da un equazione di terzo grado ovviamente esistono tre radici più la radice $z=0$!!!
qundi quattro?
per l'esercizio a noi proposto in tutto sono 4 radici si!! da un equazione di terzo grado esistono 3 radici...da una di secondo grado due radici e così via!! non capisco se non mi sono spiegato oppure ho sbagliato qualcosa!! 
sì probabilmente non avevo capito bene 
ok
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