Equazione nel campo complesso

[p4ngm4n]

ho quest'equazione da risolvere :

$(z^2)/(e^(2jargz))-z^2=sqrt(2+2sqrt(3)j)-j^(21)(2-j(sqrt3-1))$


sono riuscito a semplificare il secondo membro dell'equazione ma faccio fatica a capire cosa rappresenta:

$e^(2jargz)$ dove $argz$ è l'argomento di z

grazie per l'aiuto

[Camillo]

Se z è rappresentato in forma polare $z = rho*e^(i theta) $ allora $ arg z = theta $.

[p4ngm4n]

e sostituendo $theta$ come risolvo l'equazione?

[Camillo]

Il primo membro diventa $ rho^2*e^(i*2theta)/e^(i*2theta) -rho^2*e^(i*2theta)=rho^2(1-e^(i*2theta)) $; non ho però calcolato il secondo membro per verificare che anch'esso si possa mettere in forma polare.

[p4ngm4n]

ho calcolato il secondo membro e mi viene $1-j$ che si può scrivere in forma esponenziale come $sqrt2e^(-jpi/4)$


quindi mi trovo di fronte a questa equazione:

$rho^2(1-e^(2jtheta))=sqrt2e^(-jpi/4)$

devo imporre $rho^2=sqrt2$ e $(1-e^(2jtheta))=e^(-jpi/4)$ giusto?

[p4ngm4n]

come faccio? non mi sembra quella che ho detto la strada...potete aiutarmi?

[Camillo]

$rho^2-rho^2(cos2theta+isen2theta) =1-i $

$rho^2-rho^2cos2theta=1$
$rho^2sen2theta=1$
$rho^2 =1/(sen2theta)$
$1/(sen2theta) -(cos2theta)/(sen2theta) = 1$
$1-cos2theta= sen 2theta $
$sen2theta+cos2theta =1 $
da cui $ theta = 0 $ non accettabile
e $ theta = pi/4$ e quindi $rho=1/(sen2pi/4)$ =1$ .
$ z = e^(ipi/4) $

[Sk_Anonymous]

Segnalo che la radice quadrata che compare al secondo membro dell'equazione ha due valori che sono $sqrt3+j,-sqrt3-j$, in corrispondenza dei quali tale secondo membro assume due valori che sono 1-j,gia' calcolato ,e $1-2sqrt3-3j$.Pertanto e' possibile che vi siano altre soluzioni che si possono trovare col metodo indicato da Camillo.
Ciao

[gugo82]

"Camillo":$rho^2-rho^2(cos2theta+isen2theta) =1-i $

$rho^2-rho^2cos2theta=1$
(*) $rho^2sen2theta=1$
$rho^2 =1/(sen2theta)$
$1/(sen2theta) -(cos2theta)/(sen2theta) = 1$
$1-cos2theta= sen 2theta $
$sen2theta+cos2theta =1 $
da cui $ theta = 0 $ non accettabile

In verità l'eventualità che $theta=k pi/2$ ($k in ZZ$), oppure $theta=0,pm pi/2, pi$ se consideri gli argomenti principali, si può escludere fin dal passaggio (*): precisato che $theta !=k pi/2$ puoi fare tutti i passaggi seguenti lo (*) con tranquillità.

[Camillo]

In aggiunta alle corrette osservazioni di manlio e di gugo, ho ancora la sensazione che l'equazione si possa risolvere con un metodo più semplice e meno calcolcoso, che peraltro non ho trovato