Equazione nel campo complesso
Ragazzi potreste spiegarmi come risolvere quest'equazione:
$ Re(e^z)-|e^z|=-(e^(Re(z))z^2)/(2(|z|^2-2(Im(z))^2) $
Grazie mille in anticipo!
$ Re(e^z)-|e^z|=-(e^(Re(z))z^2)/(2(|z|^2-2(Im(z))^2) $
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Se l'hai scritta correttamente, in quell'equazione l'unico numero "davvero" complesso è $z^2$, tutti gli altri sono reali.
Quindi anche $z^2$ deve essere un numero reale, e quindi $z$ può essere o reale o immaginario puro.
Prova a studiare i due casi separatamente.
Quindi anche $z^2$ deve essere un numero reale, e quindi $z$ può essere o reale o immaginario puro.
Prova a studiare i due casi separatamente.
l'equazione è scritta bene, il problema è che non so proprio come muovermi, potresti darmi una spiegazione più dettagliata per favore?
Innanzitutto nota chel'equazione ha senso solo se è soddisfatta la condizione:
\[
|z|^2-2\ \operatorname{Im}^2(z) \neq 0
\]
il che equivale a:
\[
\operatorname{Re}^2 (z) - \operatorname{Im}^2 (z) \neq 0\; ;
\]
pertanto le soluzioni vanno cercate nell'insieme dei numeri complessi tali che \(\operatorname{Re}(z)\neq \pm \operatorname{Im} (z)\). Se usi le lettere \(x\) ed \(y\) per denotare la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di \(z\), le soluzioni vanno cercate in modo che \(x\neq \pm y\).
Dalla tua equazione ricavi:
\[
- \left(\operatorname{Re}(e^z) -|e^z|\right)\ \frac{2\ (|z|^2-2\ \operatorname{Im}^2(z))}{e^{\operatorname{Re}(z)}}=z^2
\]
col primo membro reale (perché vi intervengono tutte quantità reali); ne viene che \(z^2\) è reale, e ciò accade solo se \(z\) è reale o immaginario puro (perché?).
Conseguentemente, ti basta cercare soluzioni nella forma \(z=x\) oppure \(z=\imath\ y\).
Se sostituisci \(z=x\) nella tua equazione, essa come si riscrive?
\[
|z|^2-2\ \operatorname{Im}^2(z) \neq 0
\]
il che equivale a:
\[
\operatorname{Re}^2 (z) - \operatorname{Im}^2 (z) \neq 0\; ;
\]
pertanto le soluzioni vanno cercate nell'insieme dei numeri complessi tali che \(\operatorname{Re}(z)\neq \pm \operatorname{Im} (z)\). Se usi le lettere \(x\) ed \(y\) per denotare la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di \(z\), le soluzioni vanno cercate in modo che \(x\neq \pm y\).
Dalla tua equazione ricavi:
\[
- \left(\operatorname{Re}(e^z) -|e^z|\right)\ \frac{2\ (|z|^2-2\ \operatorname{Im}^2(z))}{e^{\operatorname{Re}(z)}}=z^2
\]
col primo membro reale (perché vi intervengono tutte quantità reali); ne viene che \(z^2\) è reale, e ciò accade solo se \(z\) è reale o immaginario puro (perché?).
Conseguentemente, ti basta cercare soluzioni nella forma \(z=x\) oppure \(z=\imath\ y\).
Se sostituisci \(z=x\) nella tua equazione, essa come si riscrive?
Innanzitutto grazie per avermi risposto! in ogni caso credo che possiamo scegliere anche z=jy perchè essendo il membro a destra z^2 verrebbe (jy)^2 =-y^2 che è un valore reale. Se Sostituissi z=x il primo termine a sinistra che è (Re(e^z)-|e^z|) diverrebbe (e^x-e^x)=0 e quindi si annullerebbe tutto e le soluzioni sarebbero z=0 , è corretto? Sostituendo invece z=jy viene $ 2y^2cosy-2y^2=jy $ , a questo punto come dovrei continuare?
Ok, escludi \(z=x\) e consideri \(z=\jmath\ y\) (notazione ingegneristica...).
Facendo un po' i conti, l'equazione si muta in:
\[
-y^2 =- (\cos y -1)\ (-y^2)
\]
ossia (dato che, per la condizione di esistenza è \(y\neq 0\)), \(\cos y -1=-1\) cioé \(\cos y=0\); da ciò segue immediatamente che \(y=\frac{\pi}{2} + k \pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), dunque l'equazione assegnata ammette infinite soluzioni le quali sono date da \(z=z_k=\jmath\ (\frac{\pi}{2}+k\pi)\) con \(k\in \mathbb{Z}\).
Facendo un po' i conti, l'equazione si muta in:
\[
-y^2 =- (\cos y -1)\ (-y^2)
\]
ossia (dato che, per la condizione di esistenza è \(y\neq 0\)), \(\cos y -1=-1\) cioé \(\cos y=0\); da ciò segue immediatamente che \(y=\frac{\pi}{2} + k \pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\), dunque l'equazione assegnata ammette infinite soluzioni le quali sono date da \(z=z_k=\jmath\ (\frac{\pi}{2}+k\pi)\) con \(k\in \mathbb{Z}\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo