Equazione nel campo complesso
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a dimostrare che la seguente equazione ammette solo soluzione identicamente nulla nel campo complesso. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie. L' equazione è la seguente :
$z(z^2-3|z|^2)=|z|^3$
$z(z^2-3|z|^2)=|z|^3$
Risposte
Potresti cominciare col ricordare che \(|z|^2=z\ \overline{z}\), quindi \(|z|^3 = z\ \overline{z}\ |z|\); dato che \(z\neq 0\)...
Avevo fatto questa considerazione, ma non mi porta a nulla, o meglio non riesco a proseguire lo stesso
Tramite l'osservazione suggerita da gugo82 arrivi a $z^2-3|z|^2=\bar{z}|z|$.
Se fai il complesso coniugato di entrambi i membri ottieni $\bar{z}^2-3|z|^2=z|z|$.
Sottraendo membro a membro queste due equazioni trovi $z^2-\bar{z}^2=(\bar{z}-z)|z|$.
Con semplici considerazioni da qui deduci che sono possibili due casi: o la parte reale di $z$ è nulla, o la parte immaginaria di $z$ è nulla.
In entrambi i casi ripartendo da $z^2-3|z|^2=\bar{z}|z|$ concludi che deve necessariamente essere $z=0$ quindi, per assurdo (visto che avevi supposto $z\ne 0$) non possono esistere soluzioni non nulle.
Se fai il complesso coniugato di entrambi i membri ottieni $\bar{z}^2-3|z|^2=z|z|$.
Sottraendo membro a membro queste due equazioni trovi $z^2-\bar{z}^2=(\bar{z}-z)|z|$.
Con semplici considerazioni da qui deduci che sono possibili due casi: o la parte reale di $z$ è nulla, o la parte immaginaria di $z$ è nulla.
In entrambi i casi ripartendo da $z^2-3|z|^2=\bar{z}|z|$ concludi che deve necessariamente essere $z=0$ quindi, per assurdo (visto che avevi supposto $z\ne 0$) non possono esistere soluzioni non nulle.
Grazie mille =)
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