Equazione logistica (o di Verhulst)
Salve a tutti cercando una soluzione della seguente equazione ho evidentemente fatto alcuni errori ma che non riesco a identificare dato che sia la mia soluzione sia quella data dal libro soddifano le condizioni e risolvono l'equazione. Da questo implicano due cose : ho ho fatto due errori madornali oppure la mia sosluzione è una particolare.
data $ y'=ay(1-by) " dove " a,b in R^+ $
ho sostituito $ y'=ay(1-by) " , " u=1/y rightarrow u'=-au+ba $
studio $ u'=-au+ba $
la sua omogenea è $ u'=-au $ la cui soluzione generale è data da $ u= lambdae^(-ax) " "lambda in R $
calcolata risolvendo il polinoi caratteristico associato le cui radici sono appunto -a.
ora calcolo una soluzione particolare: $ u'+au= ba $ con il metodo della somiglianza devo cercare una soluzione nella forma $ P(x) e^(0x) $ dove P(x) è un polinomio di grado 0 ovvero è una costante che chiamo ora c.
$ u=P(x)e^(0x) rightarrow u=c rightarrow 0+ca=cb hArr c=b rightarrow u_(part)=b $
la soluzione generica risulta quindi essere $ y= 1/u = 1/(lambdae^(-ax)+b) = e^(ax)/(lambda+be^(ax) $ la quale ho verificato risolve l'equazione di partenza.
ora invece il libro e anche altre soluzioni trovate in internet (da cui ho visto che si poteva semplicemente risolvere con ilmetodo della separazione delle variabili in partenza) danno come soluzione:
con $ a= epsilon $
$ b= 1/k $
$ y(0) =y _0 $
la soluzione:
$ y(x) = (ky_0e^(epsilonx)) /(k-y_0+y_0e^(epsilonx) $
data $ y'=ay(1-by) " dove " a,b in R^+ $
ho sostituito $ y'=ay(1-by) " , " u=1/y rightarrow u'=-au+ba $
studio $ u'=-au+ba $
la sua omogenea è $ u'=-au $ la cui soluzione generale è data da $ u= lambdae^(-ax) " "lambda in R $
calcolata risolvendo il polinoi caratteristico associato le cui radici sono appunto -a.
ora calcolo una soluzione particolare: $ u'+au= ba $ con il metodo della somiglianza devo cercare una soluzione nella forma $ P(x) e^(0x) $ dove P(x) è un polinomio di grado 0 ovvero è una costante che chiamo ora c.
$ u=P(x)e^(0x) rightarrow u=c rightarrow 0+ca=cb hArr c=b rightarrow u_(part)=b $
la soluzione generica risulta quindi essere $ y= 1/u = 1/(lambdae^(-ax)+b) = e^(ax)/(lambda+be^(ax) $ la quale ho verificato risolve l'equazione di partenza.
ora invece il libro e anche altre soluzioni trovate in internet (da cui ho visto che si poteva semplicemente risolvere con ilmetodo della separazione delle variabili in partenza) danno come soluzione:
con $ a= epsilon $
$ b= 1/k $
$ y(0) =y _0 $
la soluzione:
$ y(x) = (ky_0e^(epsilonx)) /(k-y_0+y_0e^(epsilonx) $
Risposte
Quella del tuo libro è la soluzione del problema di Cauchy di dato iniziale $y(0)=y_0$. Tu hai trovato la soluzione generale dell'equazione differenziale. In soldoni, se nella tua soluzione poni $x=0,\ y=y_0$ avrai $y_0=\frac{1}{\lambda+b}$ da cui segue $\lambda=\frac{1}{y_0}-b$. Quindi la tua soluzione diventa
$$y(x)=\frac{e^{ax}}{\frac{1}{y_0}-b+be^{ax}}=\frac{y_0 e^{ax}}{1-by_0+by_0 e^{ax}}$$
Se ora sostituisci i valori imposti per $a,\ b$ tutto dovrebbe tornare.
$$y(x)=\frac{e^{ax}}{\frac{1}{y_0}-b+be^{ax}}=\frac{y_0 e^{ax}}{1-by_0+by_0 e^{ax}}$$
Se ora sostituisci i valori imposti per $a,\ b$ tutto dovrebbe tornare.
allora non ho capito bene la sostituzione del problema di cauchy. perchè y_0 è pari a quel valore?
$y_0$ è dato. Sono io che non ho capito la domanda!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
sono un imbecille devo trovare il valore di $ lambda$ e invece ho solo sostituito $ lambda = y_0$.......forse è meglio che faccia una pausa.....
grazie per avermelo fatto notare:)
Prego non c'è di che! 
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