Equazione lineare non omogenea a coefficieti costanti
Salve ragazzi.
Non riesco a capire una cosa e, per spiegarmi meglio, utilizzo un esempio:
$ y''+y=xcos(x)+xcos(3x) $
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono $ i $ e $ -i $ .
Perchè quando ricerco la particolare l'equazione da associare deve avere questa forma:
$ y(x)= x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx + (Ex+f)cos3x+(Gx+H)sin3x $ ?
Mi spiego: non capisco il motivo di quella x che moltiplica i primi due fattori.
Non riesco a capire una cosa e, per spiegarmi meglio, utilizzo un esempio:
$ y''+y=xcos(x)+xcos(3x) $
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono $ i $ e $ -i $ .
Perchè quando ricerco la particolare l'equazione da associare deve avere questa forma:
$ y(x)= x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx + (Ex+f)cos3x+(Gx+H)sin3x $ ?
Mi spiego: non capisco il motivo di quella x che moltiplica i primi due fattori.
Risposte
il termine $xcosx$ è della forma $P_m(x)cos(\betax)$ con $m=1$ e $\beta=1$
siccome $pm i\beta$ che in questo caso è $pm i$ coincide con la soluzione dell'equazione omogenea la teoria ti dice che la soluzione particolare sarà della forma $x^k(Q_m(x)sin(\betax)+R_m(x)cos(\betax))$ dove $k$ è la molteplicità della radice, quindi ottieni proprio $x((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx)$
siccome $pm i\beta$ che in questo caso è $pm i$ coincide con la soluzione dell'equazione omogenea la teoria ti dice che la soluzione particolare sarà della forma $x^k(Q_m(x)sin(\betax)+R_m(x)cos(\betax))$ dove $k$ è la molteplicità della radice, quindi ottieni proprio $x((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx)$
Perfetto! Ho capito. Grazie mille
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