Equazione lineare non omogenea

[federico779]

Ciao a tutti, potete darmi una mano a risolvere questa equazione:

[math]y''-y=xe^x[/math]

a me esce

[math]y(x)=(e^x)/8 - (xe^x)/4 + (x^2e^x)/4 + ae^-x + be^x[/math]

ae^(-x) non riesco a scriverlo
nel libro esce cosi:

[math]y(x)= - (xe^x)/4 + (x^2e^x)/4 + ae^-x + be^x[/math]

[ciampax]

La presenza del termine non omogeneo

[math]x e^x[/math]

che riprende la soluzione

[math]e^x[/math]

impone la scelta della soluzione particolare della forma

[math]y_p(x)=x(Ax+B)e^x[/math]

dove la parte

[math](Ax+B)e^x[/math]

dipende dalla forma del termine non omogeneo, mentre la

[math]x=x^1[/math]

moltiplicata in più è per il fatto che la soluzione

[math]\lambda=1[/math]

che porta al termine

[math]e^x[/math]

nella omogenea ha molteplicità algebrica 1.

[federico779]

grazie per la risposta, l'esercizio sono riuscito a svolgerlo :).
non ho capito bene la formula da usare in questi due casi:

[math]f(x)=x^2e^x[/math]

[math]f(x)=x^3e^x[/math]

:thx

[ciampax]

Facciamo una discussione generale. Hai una equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti scritta come

[math]L_N y=f(x)[/math]

dove

[math]L_N[/math]

è un operatore differenziale di grado

[math]N[/math]

(contiene la derivata

[math]N[/math]

-ima come derivata di ordine più grande) e con

[math]f(x)=p_n(x) e^{ax}[/math]

, essendo

[math]p_n(x)[/math]

un polinomio di grado

[math]n[/math]

.

Se

[math]\lambda=a[/math]

è radice del polinomio caratteristico dell'equazione omogenea, di molteplicità algebrica

[math]r\le N[/math]

, allora la soluzione particolare da scegliere deve avere la forma seguente

[math]y_p(x)=x^r\cdot P_n(x)\cdot e^{ax}[/math]

dove

[math]P_n(x)=A_n x^n+A_{n-1} x^{n-1}+\ldots+A_1 x+A_0[/math]

è un polinomio a coefficienti incogniti di grado

[math]n[/math]

.
Spero sia chiaro.