Equazione lineare di Eulero
Salve, ho un dubbio sulle equazioni lineari di Eulero: non riesco a capire quale criterio devo seguire per scrivere un integrale particolare $v(x)$ della mia equazione. spero di spiegarmi meglio con un esercizio che riesco a risolvere a metà.
$x^2 y'' - xy' -3y = x^2 logx$
procedo così:
pongo $x=e^t$ e $t=logx$ e mi ricavo questa associata:
$a^2 -2a -3 =0$ che mi dà due soluzioni reali distinte
$a1= 3$ e $a2= -1$
dunque l'integrale particolare è : $y(x)= c1x^3 + (c2)/x + v(x)$
ora, per calcolare $v(x)$ devo porre $v(t)=$ qualcosa che ha a che fare con$ f(e^t)$, dove $f(e^t)=te^(2t)$
ma in che modo? c'è una legge per scrivere $v(t)$?
ad esempio in altri esercizi ho trovato questi casi:
$x^2 y'' + 2x y' -y= x(logx +2)= f(x)$ --> $f(e^t)=(t+2)e^t$--> $v(t)=(bt+c)e^t$
$x^2 y'' +2x y' -2y=x^2=f(x)$---> $f(e^t)=e^(2t)$ --> $v(t)=be^(2t)$
dove $b$ e $c$ sono incognite (che ho capito come calcolare).
ma da questi esercizi precedenti non riesco a trovare lo spunto per scrivere correttamente $v(t)$ (sia nell'esercizio che ho scritto all'inizio, sia in altri casi in generale).
sul seguito dell'esercizio non ho problemi.
grazie in anticipo
$x^2 y'' - xy' -3y = x^2 logx$
procedo così:
pongo $x=e^t$ e $t=logx$ e mi ricavo questa associata:
$a^2 -2a -3 =0$ che mi dà due soluzioni reali distinte
$a1= 3$ e $a2= -1$
dunque l'integrale particolare è : $y(x)= c1x^3 + (c2)/x + v(x)$
ora, per calcolare $v(x)$ devo porre $v(t)=$ qualcosa che ha a che fare con$ f(e^t)$, dove $f(e^t)=te^(2t)$
ma in che modo? c'è una legge per scrivere $v(t)$?
ad esempio in altri esercizi ho trovato questi casi:
$x^2 y'' + 2x y' -y= x(logx +2)= f(x)$ --> $f(e^t)=(t+2)e^t$--> $v(t)=(bt+c)e^t$
$x^2 y'' +2x y' -2y=x^2=f(x)$---> $f(e^t)=e^(2t)$ --> $v(t)=be^(2t)$
dove $b$ e $c$ sono incognite (che ho capito come calcolare).
ma da questi esercizi precedenti non riesco a trovare lo spunto per scrivere correttamente $v(t)$ (sia nell'esercizio che ho scritto all'inizio, sia in altri casi in generale).
sul seguito dell'esercizio non ho problemi.
grazie in anticipo
Risposte
Partendo dall'equazione differenziale ottenuta con il cambiamento di variabili, $\ddot{y}-2\dot{y}-3y=te^{2t}$, ricavi la soluzione dell'omogenea associata $y_O(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}$. La soluzione particolare, associata al termine noto $te^{2t}$, dal momento che $e^{2t}$ non compare come soluzione dell'omogenea, va ricercata in una funzione della forma
$$y_P(t)=(at+b) e^{2t}$$
per la presenza del polinomio di primo grado nel termine noto. Derivando
$$\dot{y}_P(t)=(a+2b+2at)e^{2t},\qquad \ddot{y}_P(t)=(4a+4b+4at)e^{2t}$$
e sostituendo nell'equazione
$$(4a+4b+4at-2a-4b-4at-3at-3b)e^{2t}=te^{2t}\ \Rightarrow\ 4a-3b-3at=t$$
e quindi deve essere $4a-3b=0,\ -3a=1$ da cui $a=-1/3,\ b=-4/9$.
Pertanto la soluzione dell'equazione è
$$y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-\frac{1}{9}(3t+4)e^{2t}$$
Ritornando alla variabile $x$ si ha
$$y(x)=C_1 x^3+\frac{C_2}{x}-\frac{x^2}{9}\left(3\log x+4\right)$$
$$y_P(t)=(at+b) e^{2t}$$
per la presenza del polinomio di primo grado nel termine noto. Derivando
$$\dot{y}_P(t)=(a+2b+2at)e^{2t},\qquad \ddot{y}_P(t)=(4a+4b+4at)e^{2t}$$
e sostituendo nell'equazione
$$(4a+4b+4at-2a-4b-4at-3at-3b)e^{2t}=te^{2t}\ \Rightarrow\ 4a-3b-3at=t$$
e quindi deve essere $4a-3b=0,\ -3a=1$ da cui $a=-1/3,\ b=-4/9$.
Pertanto la soluzione dell'equazione è
$$y(t)=C_1 e^{3t}+C_2 e^{-t}-\frac{1}{9}(3t+4)e^{2t}$$
Ritornando alla variabile $x$ si ha
$$y(x)=C_1 x^3+\frac{C_2}{x}-\frac{x^2}{9}\left(3\log x+4\right)$$
grazie mille! anche se $b= -2/9$ perchè l'equazione alla fine è $2a - 3b -3at=t$
e se $e^(2t)$ fosse stata soluzione dell'omogenea, come avrei dovuto scrivere $yp(t)$?
e se $e^(2t)$ fosse stata soluzione dell'omogenea, come avrei dovuto scrivere $yp(t)$?
Dipende da quante volte è soluzione. Se l'omogenea fosse stata $y=C_1 e^{2t}+C_2 e^{kt}$ con $k\ne 2$ allora avresti dovuto scegliere $y_p=t(at+b)e^{2t}$.
Se invece si fosse avuto $y=(C_1+c_2 t)e^{2t}$, allora avresti dovuto scegliere $y_p=t^2(at+b)e^{2t}$.
Se invece si fosse avuto $y=(C_1+c_2 t)e^{2t}$, allora avresti dovuto scegliere $y_p=t^2(at+b)e^{2t}$.
ora è tutto più chiaro! grazie ancora.
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