Equazione Lineare 2 Ordine con metodo funzioni simili

[mx921]

Ciao a tutti ho questa equazione
$y''-2y' = xsinx$

Ho calcolato l'integrale generale che risulta essere: $c_1 + c_2e^(2x)$

Procedo quindi con il calcolo di un integrale particolare che sarà nella forma: $bar y = q_1(x)cosx + s_1(x)sinx$

Considero quindi $q_1(x) = Ax + B$ e $s_1(x) = Cx + D$.
Andando a sostituire ho:
$bar y = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx$
Di conseguenza le derivate saranno
$bar y' = Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx$
$bar y'' = -2Asinx + 2Ccosx - (Ax+B)cosx - (Cx+D)sinx$

Sostituisco tutto nella equazione data dalla traccia dell'esercizio ed ho

$-2Asinx + 2Ccosx - (Ax+B)cosx - (Cx+D)sinx - 2Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + $
$+ (Cx+D)cosx = xsinx$

Il mio problema arriva ora: non riesco a capire come determinare A,B,C e D per ottenere i due polinomi dell'integrale particolare.
Grazie in anticipo per l'aiuto!

[Plepp]

Ciao per determinare i valori di $A,B,C,D$ devi considerare che il primo membro dell'ultima equazione ottenuta deve essere uguale al secondo, in quanto la funzione $\overline{y}$ soddisfa l'equazione differenziale. Raccogliendo seno e coseno hai
\[(-2A-Cx-D-Ax-B+C)\sin x+ (2C-Ax-B-2A+Cx+D)\cos x= x \sin x\]
Pertanto dovranno essere
\[\begin{cases}
-A-C=1\qquad\qquad \text{perchè dev'essere} (-Ax-Cx)=x \quad \text{per il seno}\\
D-B+C=0\\
-A+C=0\qquad\qquad \text{perchè dev'essere} (-Ax+Cx)=0\quad \text{per il coseno}\\
2C-B-2A+D=0
\end{cases}
\]
Risolvendo il "sistemone" ottenuto (4 equazioni in 4 incognite) trovi i valori che cerchi. Spero di esserti stato utile ciao