Equazione integro-differenziale
Buongiorno,
ho l'equazione $ int_(0)^(x) y(t)dt +y'(x) = e^x $ e la condizione $y(0)=0$. Ho risolto il problema chiamando $Y(x) = int_(0)^(x) y(t)dt$ e, di conseguenza, $Y'(x) = y(x)$.
A un certo punto però, dato che l'equazione è di secondo ordine, servono due condizioni iniziali (di Cauchy). Così il professore osserva che $Y'(x)=y(0)=0$, e fin qui nulla di particolare. Per trovare la seconda condizione dice anche che $Y(0)=0$ e qui non capisco:
1) perchè $Y(0)$ vale 0 (forse perchè l'integrale calcolato da 0 a 0 è nullo?)
2) perchè ha scelto proprio il punto $x_0=0$ e il valore $y_0=0$ per la condizione
ho l'equazione $ int_(0)^(x) y(t)dt +y'(x) = e^x $ e la condizione $y(0)=0$. Ho risolto il problema chiamando $Y(x) = int_(0)^(x) y(t)dt$ e, di conseguenza, $Y'(x) = y(x)$.
A un certo punto però, dato che l'equazione è di secondo ordine, servono due condizioni iniziali (di Cauchy). Così il professore osserva che $Y'(x)=y(0)=0$, e fin qui nulla di particolare. Per trovare la seconda condizione dice anche che $Y(0)=0$ e qui non capisco:
1) perchè $Y(0)$ vale 0 (forse perchè l'integrale calcolato da 0 a 0 è nullo?)
2) perchè ha scelto proprio il punto $x_0=0$ e il valore $y_0=0$ per la condizione
Risposte
Sì, l'integrale è nullo per quel motivo.
Il fatto che abbia scelto lo stesso punto non è un caso, cosa ti dice la definizione di equazione differenziale?
Rivedila e soffermati sul punto in cui sono valutate la funzione e le sue derivate.
Il fatto che abbia scelto lo stesso punto non è un caso, cosa ti dice la definizione di equazione differenziale?
Rivedila e soffermati sul punto in cui sono valutate la funzione e le sue derivate.
"Mephlip":
Il fatto che abbia scelto lo stesso punto non è un caso, cosa ti dice la definizione di equazione differenziale?
Diciamo che non conosco una vera e propria definizione di equazione differenziale in quanto sul libro di testo non vengono minimamente trattate e a lezione abbiamo capito soltanto cosa sono le EDO a grandi linee (funzioni che mettono in relazione una funzione incognita con le sue derivate).
Ragionandoci un altro po' posso pensare che, dato che la derivata deve passare per un punto, allora la funzione deve esistere in quel punto e, per far in modo che ciò accada, devo obbligare la funzione a passare per gli stessi punti per cui passa la tangente (derivata). È corretto?
Puoi fare anche a meno dell’incognita ausiliaria… Basta guardare bene il problema.
Cos’è una soluzione di $ int_(0)^(x) y(t)dt +y'(x) = e^x $?
Beh, è una funzione $y:I -> RR$ definita in un conveniente intorno $I$ di $0$ ed ivi derivabile (e dunque anche continua ed integrabile).
Ora, se $y(x)$ è una soluzione, allora $y’(x) = e^x - int_0^x y(t) text(d) t$ e dal TFCI segue che $y’(x)$ è una funzione continua e derivabile in $I$; dunque $y(x)$ è derivabile due volte in $I$ e la sua derivata seconda si ottiene derivando m.a.m. l’uguaglianza $y’(x) = e^x - int_0^x y(t) text(d) t$: in tal modo si ottiene:
$y’’(x) = e^x - y’(x) <=> y’’(x) + y’(x) = e^x$
che è una banalissima EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.
Per determinare una soluzione dell’equazione originaria bisogna accoppiare alla EDO del secondo ordine opportune condizioni iniziali.
Una è assegnata dal problema, $y(0) = 0$; l’altra si ottiene direttamente dalla equazione assegnata sostituendovi $x=0$: in tal modo si trova $y’(0) = e^0 + int_0^0 y(t) text(d) t = 1$.
Quindi una soluzione del tuo problema è anche soluzione del PdC:
$\{(y’’(x) + y’(x) = e^x), (y(0) = 0), (y’(0) = 1) :}$.
Viceversa, non credo sia difficile dimostrare che ogni soluzione del PdC precedente è anche soluzione dell’equazione assegnata.
Morale della favola: ti basta risolvere $\{(y’’(x) + y’(x) = e^x), (y(0) = 0), (y’(0) = 1) :}$.
P.S.: Per una definizione di EDO, vedi qui.
Cos’è una soluzione di $ int_(0)^(x) y(t)dt +y'(x) = e^x $?
Beh, è una funzione $y:I -> RR$ definita in un conveniente intorno $I$ di $0$ ed ivi derivabile (e dunque anche continua ed integrabile).
Ora, se $y(x)$ è una soluzione, allora $y’(x) = e^x - int_0^x y(t) text(d) t$ e dal TFCI segue che $y’(x)$ è una funzione continua e derivabile in $I$; dunque $y(x)$ è derivabile due volte in $I$ e la sua derivata seconda si ottiene derivando m.a.m. l’uguaglianza $y’(x) = e^x - int_0^x y(t) text(d) t$: in tal modo si ottiene:
$y’’(x) = e^x - y’(x) <=> y’’(x) + y’(x) = e^x$
che è una banalissima EDO lineare del secondo ordine a coefficienti costanti.
Per determinare una soluzione dell’equazione originaria bisogna accoppiare alla EDO del secondo ordine opportune condizioni iniziali.
Una è assegnata dal problema, $y(0) = 0$; l’altra si ottiene direttamente dalla equazione assegnata sostituendovi $x=0$: in tal modo si trova $y’(0) = e^0 + int_0^0 y(t) text(d) t = 1$.
Quindi una soluzione del tuo problema è anche soluzione del PdC:
$\{(y’’(x) + y’(x) = e^x), (y(0) = 0), (y’(0) = 1) :}$.
Viceversa, non credo sia difficile dimostrare che ogni soluzione del PdC precedente è anche soluzione dell’equazione assegnata.
Morale della favola: ti basta risolvere $\{(y’’(x) + y’(x) = e^x), (y(0) = 0), (y’(0) = 1) :}$.
P.S.: Per una definizione di EDO, vedi qui.
"Lorenzo_99":
Ragionandoci un altro po' posso pensare che, dato che la derivata deve passare per un punto, allora la funzione deve esistere in quel punto e, per far in modo che ciò accada, devo obbligare la funzione a passare per gli stessi punti per cui passa la tangente (derivata). È corretto?
Onestamente non so dirti se il ragionamento è corretto, quindi lascio la parola a persone più esperte di me; comunque, il problema di Cauchy richiede che la variabile indipendente in cui si calcolano la funzione e le sue derivate sia la stessa (per questo sceglie comunque $x_0=0$ anche per $y'$).
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