Equazione integrale di Volterra
Salve a tutti
ho questo esercizio da cui non so da dove partire.
Posto $B=(0,\pi) times (-1,1)$, e detta $f(x,y)$ la funzione reale definita in $B$ dalla legge:
$f(x,y)= (1-y^2)^(1/2)*\sin x$
trovare in $(0,\pi)$ le soluzioni della seguente equazione integrale di Volterra:
$y(x)= int_(\pi/2)^x f(t,y(t))dt$
Avete suggerimenti da darmi, non ho mai visto questo tipo di esercizio.
A prima vista sembra che debba fare una sostituzione, cioè devo esprimere $f(x,y)$ in funzione di $t$,ma non so come procedere.
Grazie
ho questo esercizio da cui non so da dove partire.
Posto $B=(0,\pi) times (-1,1)$, e detta $f(x,y)$ la funzione reale definita in $B$ dalla legge:
$f(x,y)= (1-y^2)^(1/2)*\sin x$
trovare in $(0,\pi)$ le soluzioni della seguente equazione integrale di Volterra:
$y(x)= int_(\pi/2)^x f(t,y(t))dt$
Avete suggerimenti da darmi, non ho mai visto questo tipo di esercizio.
A prima vista sembra che debba fare una sostituzione, cioè devo esprimere $f(x,y)$ in funzione di $t$,ma non so come procedere.
Grazie
Risposte
"emanuele78":
$f(x,y)= int_(\pi/2)^x f(t,y(t))dt$
Scusa la domanda banale, ma sei sicuro del testo?
"Paolo90":
[quote="emanuele78"]
$f(x,y)= int_(\pi/2)^x f(t,y(t))dt$
Scusa la domanda banale, ma sei sicuro del testo?[/quote]
Effettivamente non è $f(x,y)$ ma $y(x)$. (ho modificato nel 1° thread)
Proprio come immaginavo 
Ti dico una parola "magica", che forse ti può aiutare: problema di Cauchy.
Ne hai sentito parlare? Hai studiato il teorema di esistenza e unicità locale?
Dopo che avrai risposto a queste domande, se avrai ancora bisogno, ti spiegherò come fare
Ti dico una parola "magica", che forse ti può aiutare: problema di Cauchy.
Ne hai sentito parlare? Hai studiato il teorema di esistenza e unicità locale?
Dopo che avrai risposto a queste domande, se avrai ancora bisogno, ti spiegherò come fare
"Paolo90":
Proprio come immaginavo
Ti dico una parola "magica", che forse ti può aiutare: problema di Cauchy.
Ne hai sentito parlare? Hai studiato il teorema di esistenza e unicità locale?
Dopo che avrai risposto a queste domande, se avrai ancora bisogno, ti spiegherò come fare
Ok, ho indagato un pò ed effettivamente esiste un legame tra il problema di Cauchy e l'equazione integrale di Volterra. (il mio libro non mi diceva nulla). Il problema è che non ho alcun esempio pratico di questa equivalenza.
Ragiono qui sperando di dire meno cavolate possibili. Dal problema di Cauchy so che esiste una equivalenza tra $y'(x) =f(x,y)$ dove la mia incognita è proprio $y(x)$, inoltre so che trovando la soluzione dell'equazione differenziale, in realtà trovo una soluzione generale, mentre se voglio sapere la particolare soluzione, dal problema di Cauchy so a quale valore è uguale $y(x_0)$ dato un certo $x_0$, e quindi praticamente riesco a identificare la costante $c$
(qui è tutta immaginazione
) Ora se io pongo $y'=(1-y^2)^(1/2)*sinx$ ottengo la mia equazione differenziale che risolta con il metodo delle variabili separabili mi da come risultato $arcsiny = -cosx$ da cui dovrebbe essere $y= sin(cos(x)$ Un pò questo risultato mi sembra strano.E quindi posso stabilire una equivalenza tra $sin(cos(x)) = int_(\pi/2)^x f(t,y(t)) dt$.
Voi che dite?
Bene, le idee ci sono tutte. Una mano a formalizzare il tutto.
Teorema. Sia dato il problema di Cauchy $u'=f(t,u)$, $u(t_0)=u_0$, dove $f: \Omega \to RR^{n}$ ($\Omega$ aperto di $\RR^{n+1}$), $(t_0, u_0) \in Omega$, $f in C(\Omega)$. Sia inoltre $\phi : I \to \RR^{n}$ una funzione continua su $I$ (intervallo della retta reale con $t_0 in I$). Allora the following are equivalent
i) $\phi \in C^{1}(I)$ e $\phi$ è soluzione del problema di Cauchy
ii) $\phi$ soddisfa l'equazione integrale di Volterra $phi(t)=u_0+ \int_{t_0}^{t} f(s,phi(s))ds$, per ogni $t \in I$.
La dimostrazione è decisamente semplice. A grandi linee, comunque, per i) $=>$ ii) non serve altro oltre alla definizioni di soluzione. Supponi $t ge t_0$, integri membro a membro e hai subito la tesi (analogamente se $t
ii) => i) è un filino più delicata, ma basta il teorema fondamentale. $f$ è continua, $\phi$ anche e quindi per composizione lo è anche $f(s,phi(s))$. Allora grazie al citato teorema, hai la derivabilità di $phi(t)-u_0$ e quindi hai finito. Verificare che la c.i. è soddisfatta è un'ovvietà e il fatto che $\phi \in C^{1}(I)$ segue dalla continuità di $f$.
Ora dovresti avere tutti gli strumenti per risolvere quell'equazione integrale, trasformandola in un opportuno problema di Cauchy (la cui equazione differenziale sarà a variabili separabili, se vedo bene).
Teorema. Sia dato il problema di Cauchy $u'=f(t,u)$, $u(t_0)=u_0$, dove $f: \Omega \to RR^{n}$ ($\Omega$ aperto di $\RR^{n+1}$), $(t_0, u_0) \in Omega$, $f in C(\Omega)$. Sia inoltre $\phi : I \to \RR^{n}$ una funzione continua su $I$ (intervallo della retta reale con $t_0 in I$). Allora the following are equivalent
i) $\phi \in C^{1}(I)$ e $\phi$ è soluzione del problema di Cauchy
ii) $\phi$ soddisfa l'equazione integrale di Volterra $phi(t)=u_0+ \int_{t_0}^{t} f(s,phi(s))ds$, per ogni $t \in I$.
La dimostrazione è decisamente semplice. A grandi linee, comunque, per i) $=>$ ii) non serve altro oltre alla definizioni di soluzione. Supponi $t ge t_0$, integri membro a membro e hai subito la tesi (analogamente se $t
ii) => i) è un filino più delicata, ma basta il teorema fondamentale. $f$ è continua, $\phi$ anche e quindi per composizione lo è anche $f(s,phi(s))$. Allora grazie al citato teorema, hai la derivabilità di $phi(t)-u_0$ e quindi hai finito. Verificare che la c.i. è soddisfatta è un'ovvietà e il fatto che $\phi \in C^{1}(I)$ segue dalla continuità di $f$.
Ora dovresti avere tutti gli strumenti per risolvere quell'equazione integrale, trasformandola in un opportuno problema di Cauchy (la cui equazione differenziale sarà a variabili separabili, se vedo bene).
Innanzitutto grazie. Mi manca l'esempio pratico ma ci provo.
Vediamo se ho capito. Per risolvere il problema di Cauchy mi mancherebbe soltanto la condizione iniziale. E questa dovrebbe venirmi dal Teorema e quindi, osservo che $sin(cos(\pi/2)) = 0$.
Pertanto se ho capito bene dovrei avere :
$y' =(1-y^2)^(1/2)sinx$ e
$y(\pi/2)=0$
e quindi la soluzione dovrebbe essere $y = -sin(cos(x))$. Mi sembra un pò strana come soluzione, ma l'inversa di $arcsiny$ non dovrebbe essere $siny$?
Grazie ancora.
Vediamo se ho capito. Per risolvere il problema di Cauchy mi mancherebbe soltanto la condizione iniziale. E questa dovrebbe venirmi dal Teorema e quindi, osservo che $sin(cos(\pi/2)) = 0$.
Pertanto se ho capito bene dovrei avere :
$y' =(1-y^2)^(1/2)sinx$ e
$y(\pi/2)=0$
e quindi la soluzione dovrebbe essere $y = -sin(cos(x))$. Mi sembra un pò strana come soluzione, ma l'inversa di $arcsiny$ non dovrebbe essere $siny$?
Grazie ancora.
"emanuele78":
Innanzitutto grazie.
Prego, figurati.
"emanuele78":
Per risolvere il problema di Cauchy mi mancherebbe soltanto la condizione iniziale. E questa dovrebbe venirmi dal Teorema e quindi, osservo che $sin(cos(\pi/2)) = 0$.
Sì, è giusta anche se non ho capito come l'hai ricavata. Osserva che - nelle notazioni del mio precedente post - $t_0=pi/2$ e $u_0=0$.
"emanuele78":
quindi la soluzione dovrebbe essere $y = -sin(cos(x))$. Mi sembra un pò strana come soluzione, ma l'inversa di $arcsiny$ non dovrebbe essere $siny$?
Sinceramente, non ho fatto i calcoli. Ma perchè ti sembra strana come soluzione? E perchè parli dell'inversa di $arcsiny$?
perfetto, ho capito è $u_0 =0$ cioè il nostro termine noto è pari a zero. E si vede benissimoral teorema. ora ho capito al 99%. Praticamente è il problema di Cauchy scritto in maniera diversa. Non avendolo mai visto scritto in quella forma pensavo a qualcosa di assurdo.
Grazie mille
Grazie mille
Sì, è esattamente un problema di Cauchy "camuffato", scritto in una forma equivalente.
Comunque prego, figurati: è stato un piacere
Comunque prego, figurati: è stato un piacere
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