Equazione in $ CC $
Ragazzi, devo svolgere la seguente equazione: $ cosz + sinz = 3 $ in $ CC $!
Io ho provato a risolverla in questa maniera: $ (e^(iz)+e^(-iz))/2 + (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)=3 $, cioè $ (e^(iz)+e^(-iz))i + e^(iz)-e^(-iz)=3 (1+i)^2 $ perché $ 2i=(1+i)^2 $, poi ho moltiplicato tutto per $ e^(iz) $ ed ho ottenuto $ (e^(2iz)+1)i + e^(2iz)-1=3 (1+i)^2e^(iz) $ cioè $ e^(2iz)(1+i) -3 (1+i)^2e^(iz)+ i-1=0 $. Ho fatto la sostituzione $ e^(iz)=t $ ed ho ottenuto: $ t^2(1+i)-3(1+i)^2t+i-1=0 $! Adesso però non riesco ad andare avanti e, detto sinceramente, il punto a cui sono arrivato non mi piace molto... Qualcuno ha qualche idea?
Io ho provato a risolverla in questa maniera: $ (e^(iz)+e^(-iz))/2 + (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)=3 $, cioè $ (e^(iz)+e^(-iz))i + e^(iz)-e^(-iz)=3 (1+i)^2 $ perché $ 2i=(1+i)^2 $, poi ho moltiplicato tutto per $ e^(iz) $ ed ho ottenuto $ (e^(2iz)+1)i + e^(2iz)-1=3 (1+i)^2e^(iz) $ cioè $ e^(2iz)(1+i) -3 (1+i)^2e^(iz)+ i-1=0 $. Ho fatto la sostituzione $ e^(iz)=t $ ed ho ottenuto: $ t^2(1+i)-3(1+i)^2t+i-1=0 $! Adesso però non riesco ad andare avanti e, detto sinceramente, il punto a cui sono arrivato non mi piace molto... Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Provando a dividere tutto per i+1 la situazione non si risolve molto...
Appena all'inizio, se moltiplichi entrambi i membri per $2i$, a destra dovresti semplicemente ottenere $6i$. La sostituzione è una buona cosa, ma falla subito, non alla fine!!
Comunque, detto questo, dovresti ottenere una semplice equazione di secondo grado in $t$, risolvila con il solito $\Delta$.
Paola
Comunque, detto questo, dovresti ottenere una semplice equazione di secondo grado in $t$, risolvila con il solito $\Delta$.
Paola
Ok... Grazie mille Paola!
Allora, ecco tutto il mio procedimento:
$ sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i) $
$ cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 $
$ e^(iz)=t $ $ rArr $ $ t-1/t+i(t-1/t)=2i $ $ rArr $ $ t^2-1+i(t^2-1)=2it $ $ rArr $ $ t^2(1+i)-2it-(1+i)=0 $
$ Delta/4=(-2i)^2+(i+1)^2 $ $ rArr $ $ t(1)=(i+sqrt(-4+2i))/2 $ , $ t(2)=(i-sqrt(-4+2i))/2 $
Adesso non riesco più ad andare avanti! Secondo te, il procedimento va bene per ora?
$ sinz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i) $
$ cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 $
$ e^(iz)=t $ $ rArr $ $ t-1/t+i(t-1/t)=2i $ $ rArr $ $ t^2-1+i(t^2-1)=2it $ $ rArr $ $ t^2(1+i)-2it-(1+i)=0 $
$ Delta/4=(-2i)^2+(i+1)^2 $ $ rArr $ $ t(1)=(i+sqrt(-4+2i))/2 $ , $ t(2)=(i-sqrt(-4+2i))/2 $
Adesso non riesco più ad andare avanti! Secondo te, il procedimento va bene per ora?
Dovresti ottenere $cos z + sin z =3 \to i(t+1/t)+ t-1/t = 6i \to it^2+i+t^2-1=6it\to t^2(1+i) -6it +(i-1)=0$. Come vedi è diverso dalla tua equazione, riparti da qui.
Paola
Paola
Sì, scusami Paola, hai ragione, quello che ti ho scritto era il testo di un'altra fila che era molto simile all'esercizio da me postato in quanto differiva solamente per un 1 invece che un 3! Comunque sia, il problema rimane il medesimo! Non riesco a sbrogliare la situazione sotto la radice quadrata!
Ciao ad entrambi e scusate l'intromissione. Mi chiedo se prima di tutto non sia utile questo:
$\cos z + \sin z=3$____$ \rightarrow$____$ 1/sqrt(2) \cos z + 1/sqrt(2) \sin x = 3/sqrt(2)$____$ \rightarrow$____$ \cos(z-pi/4)=3/sqrt(2)$__,
dopo di che si passa alla forma esponenziale per__ $\cos(z-pi/4)$ __ed a una sostituzione analoga a quella di cui sopra.
Mi pare che i calcoli si alleggeriscano parecchio.
$\cos z + \sin z=3$____$ \rightarrow$____$ 1/sqrt(2) \cos z + 1/sqrt(2) \sin x = 3/sqrt(2)$____$ \rightarrow$____$ \cos(z-pi/4)=3/sqrt(2)$__,
dopo di che si passa alla forma esponenziale per__ $\cos(z-pi/4)$ __ed a una sostituzione analoga a quella di cui sopra.
Mi pare che i calcoli si alleggeriscano parecchio.
Ciao Palliit, non devi scusarti per l'intromissione perché siamo in un forum e non in una chat a 2 
.
Il tuo suggerimento è utilissimo!
In ogni caso, continuo sulla mia linea di calcolo per dare una risoluzione un pelo più generale... Ma Controllore, tieni a mente il passaggio di Palliitt perché è più furbo.
Nel nostro caso si ha $\Delta= (-6i)^2 - 4(i+1)(i-1)=-36-4(-1-1)=-36+8=-28\to \sqrt{\Delta}=\pm 2i\sqrt{7}$.
In generale, se ti trovi in una situazione del tipo $\sqrt{ai+b}$ e non è immediata, usa [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unit%C3%A0#Radici_di_un_numero_complesso_qualsiasi]questo metodo[/url].
Paola
.Il tuo suggerimento è utilissimo!
In ogni caso, continuo sulla mia linea di calcolo per dare una risoluzione un pelo più generale... Ma Controllore, tieni a mente il passaggio di Palliitt perché è più furbo.
Nel nostro caso si ha $\Delta= (-6i)^2 - 4(i+1)(i-1)=-36-4(-1-1)=-36+8=-28\to \sqrt{\Delta}=\pm 2i\sqrt{7}$.
In generale, se ti trovi in una situazione del tipo $\sqrt{ai+b}$ e non è immediata, usa [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell'unit%C3%A0#Radici_di_un_numero_complesso_qualsiasi]questo metodo[/url].
Paola
Grazie per l'apprezzamento, prime_number!
Grazie ad entrambi! Sono riuscito a risolvere l'esercizio ma vedere che ci sono tante persone disposte ad aiutare chi è in difficoltà, mi fa veramente piacere! Palliit, non avevo pensato a codesta via, mi sembra veramente molto utile e molto più rapida! Grazie mille di nuovo a tutti e due!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo