Equazione in $CC$

[tabpozz]

Salve, mi corregereste questo esercizio?

$P(x)=z^4+(4+1)z^2+alpha$. Determinare per quali valori di $alpha w=2i$ è radice di $P(x)$ e per tali valori di $alpha$ determinare tutte le soluzioni dell'equazione $P(x)=0$ scrivendole in forma algebrica.

Innanzitutto calcolo $P(2i)=(2i)^2(2i)^2+(4+i)(2i)^2+alpha=16-16-4i+alpha=0$ quindi $alpha=4i$.

Poi riscrivo il polinomio e ne trovo le soluzioni:

$P(x)=z^4+4z^2+iz^2+4i=z^2(z^2+4)+i(z^2+4)=(z^2+i)(z^2+4)$. Quindi le soluzioni sono per $z^2=-4$ e per $z^2=-i$.

Perciò cerco inizialmente $z_1$. Poichè $-4=4e^(ipi)$, $z_1=4e^(iphi_(k))$ con $phi_k=(pi+2kpi)/(2)$, con $k=0,1$. Perciò $z_1=4e^(ipi/2)=4i$. Essendo anche il suo coniugato una soluzione, abbiamo che $z_2=-4i$.

Poi cerco $z_3$. Poichè $-i=e^(i3/2pi)$, $z_3=e^(iphi_(k))$ con $phi_k=(3/2pi+2kpi)/(2)$, con $k=0,1$. Perciò $z_3=e^(i3/4pi)=-1/sqrt(2)+i1/sqrt(2)$. Essendo anche il suo coniugato una soluzione, abbiamo che $z_4=-1/sqrt(2)-i1/sqrt(2)$.

[Sk_Anonymous]

"tabpozz":Salve, mi corregereste questo esercizio?
Perciò cerco inizialmente $z_1$. Poichè $-4=4e^(ipi)$, $z_1=4e^(iphi_(k))$ con $phi_k=(pi+2kpi)/(2)$, con $k=0,1$. Perciò $z_1=4e^(ipi/2)=4i$. Essendo anche il suo coniugato una soluzione, abbiamo che $z_2=-4i$.

$z_1=4e^(iphi_(k))$
Direi che l'errore è qui perché $z^2=-4$ quindi $z=2e^(iphi_(k))$ ecc.

[_prime_number]

"tabpozz":
Perciò cerco inizialmente $z_1$. Poichè $-4=4e^(ipi)$, $z_1=4e^(iphi_(k))$ con $phi_k=(pi+2kpi)/(2)$, con $k=0,1$. Perciò $z_1=4e^(ipi/2)=4i$. Essendo anche il suo coniugato una soluzione, abbiamo che $z_2=-4i$.

L'angolo va bene, ma non ha fatto la radice della norma di -4. Le soluzioni sono $2i, -2i$

Paola

[tabpozz]

Cavolo, avete ragione... Ecco perchè non tornava!