Equazione in $CC$

[galles90]

Buonasera,

dovrei risolverse la seguente equazione

$(z-1)^2=i.$

Procedo utilizzando la forma cartesiana del numero complesso $z=a+ib$, quindi
$(z-1)^2=z^2+1-2z=x^2-y^2+2xyi+1-2x-2yi$
quindi l'equazione data, diviene

$(z-1)^2-i=0 to x^2-y^2+2xyi+1-2x-2yi-i=0$

l'equazione risulta essera uguale a zero, se e soltanto se, parte reale \(\displaystyle \Re(z)=0 \) e parte immaginaria \(\displaystyle \Im(z)=0 \), ossia

\(\displaystyle S=\begin{cases} x^2-y^2+1-2x=0, \\ 2xy-2y-1=0. \end{cases} \)

Vi chiedo, sto andando bene ?

Ciao

[jinsang]

Credo che il tuo procedimento sia corretto, ma secondo me si risolve più facilmente senza passare ai reali...

Io direi $z=1+sqrt(i)$ (ho solo estratto la radice a destra e sinistra, poi ho portato l'1 a destra)
Siccome $i=e^(i \pi/2)$ si ha che $sqrt(i)={e^(i \pi/4); e^(i (3\pi)/4)}$ a questo punto puoi scrivere la soluzione nella forma che più ti piace.

[galles90]

Ciao jinsang,

ho letti, i tuoi passaggi, si trovano con la forma algebrica riportata su i risultati,grazie.


Ciao

[gugo82]

Sostituendo $z-1=w$ l'equazione si riconduce al problema $w^2 = i$, che è un problema di estrazione di radice.