Equazione in campo complesso
Buongiorno non riesco a risolvere l'equazione \(\displaystyle (z+1)^4=(1-z)^4 \), z complesso.
Ho provato a trovare una soluzione "grafica" scrivendo \(\displaystyle (1-z)=(-(z-1)) \) quindi \(\displaystyle (z+1)^4=(-(z-1))^4 \) così da avere 2 numeri z traslati di +1 e -1, opposti e elevati alla 4. Ho disegnato i 2 numeri con la rappresentazione polare, ho disegnato 2 cerchi di raggio uguale ho traslato uno a dx e l'altro a sx di 1, quindi ho trovato un solo punto in comune che è \(\displaystyle z=0 \) infatti 0 è una soluzione. Il ragionamento è giusto? Dato che è un equazione di grado 4 non ci dovrebbero essere altre 3 soluzioni?
Ho provato a trovare una soluzione "grafica" scrivendo \(\displaystyle (1-z)=(-(z-1)) \) quindi \(\displaystyle (z+1)^4=(-(z-1))^4 \) così da avere 2 numeri z traslati di +1 e -1, opposti e elevati alla 4. Ho disegnato i 2 numeri con la rappresentazione polare, ho disegnato 2 cerchi di raggio uguale ho traslato uno a dx e l'altro a sx di 1, quindi ho trovato un solo punto in comune che è \(\displaystyle z=0 \) infatti 0 è una soluzione. Il ragionamento è giusto? Dato che è un equazione di grado 4 non ci dovrebbero essere altre 3 soluzioni?
Risposte
Ciao samboailati,
Benvenuto sul forum!
La cosa più semplice mi pare considerare che si ha $(z+1)^4=(1-z)^4 = (z - 1)^4 $ e poi fare i conti col triangolo di Tartaglia per i coefficienti. Alla fine dovresti ottenere l'equazione $8z^3 + 8z = 0 $ che sono certo che sai risolvere...
Benvenuto sul forum!
La cosa più semplice mi pare considerare che si ha $(z+1)^4=(1-z)^4 = (z - 1)^4 $ e poi fare i conti col triangolo di Tartaglia per i coefficienti. Alla fine dovresti ottenere l'equazione $8z^3 + 8z = 0 $ che sono certo che sai risolvere...
"pilloeffe":
Ciao samboailati,
Benvenuto sul forum!
La cosa più semplice mi pare considerare che si ha $(z+1)^4=(1-z)^4 = (z - 1)^4 $ e poi fare i conti col triangolo di Tartaglia per i coefficienti. Alla fine dovresti ottenere l'equazione $8z^3 + 8z = 0 $ che sono certo che sai risolvere...
Giusto, grazie.
Ciao, esercizio interessante, se due potenze hanno lo stesso esponente è possibile uguagliare le basi lavorando nel campo complesso?
Se così fosse allora si giungerebbe all'equazione
\[
z = -z
\]
È possibile?
Se così fosse allora si giungerebbe all'equazione
\[
z = -z
\]
È possibile?
Così perdi un po' di soluzioni. Succederebbe anche in campo reale, figurati in campo complesso.
Pensa solo a $x^4=1$, non puoi scrivere solo $x=1$, ma hai in $RR$ anche la soluzione $x= -1$, in $CC$ oltre alle due precedenti, anche $x= +-i$.
Pensa solo a $x^4=1$, non puoi scrivere solo $x=1$, ma hai in $RR$ anche la soluzione $x= -1$, in $CC$ oltre alle due precedenti, anche $x= +-i$.
Ciao melia, ma è corretto scrivere \(z=-z\)? Mi viene in mente solo il numero complesso \(0 + i0\) perché nel campo reale sarebbe assurdo.
In corrispondenza a quanto scritto in precedenza, ottieni i 4 casi
$z+1=z-1$
$z+1= -z+1$
$z+1=i(z-1)$
$z+1= -i(z-1)$
La prima è impossibile tanto in $CC$ quanto in $RR$
La seconda ha uguale soluzione in $CC$ e in $RR$ cioè $z=0$
Le altre due hanno soluzioni solo in $CC$
$z+1=z-1$
$z+1= -z+1$
$z+1=i(z-1)$
$z+1= -i(z-1)$
La prima è impossibile tanto in $CC$ quanto in $RR$
La seconda ha uguale soluzione in $CC$ e in $RR$ cioè $z=0$
Le altre due hanno soluzioni solo in $CC$
OK grazie.
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