Equazione in campo complesso

[carlovalori]

$ (z-|z|)*(bar(z)-|z|)+iz = (1+i)^3 $

salve a tutti ho questa equazione complessa, normalmente se si presentasse senza il termine (iz) la risolverei trovando le radici terze del secondo membro e poi risolverei l equazione con la legge di annullamento del prodotto passando alla forma algebrica. Questo termine iz però complica tutto, risolverla passando alla forma algebrica mi porta ad incasinarmi ancora di più.
Grazie per il vostro aiuto.

[pilloeffe]

Ciao carlovalori,

L'equazione proposta è la seguente:

$(z-|z|) \cdot (bar(z)-|z|)+iz = (1+i)^3 $

Ricordando che $z \bar{z} = |z|^2 $ e che $ z + \bar{z} = 2Re(z) $, si ha:

$z\bar{z} - z|z| - \bar{z}|z| + |z|^2 + iz = - 2 + 2i $

$2|z|^2 - 2|z| Re(z) + iz = - 2 + 2i $

Ora, considerando $z = x + iy $ si ha:

$2(x^2 + y^2) - 2x\sqrt{x^2 + y^2} + ix - y = - 2 + 2i $

Eguagliando le parti immaginarie si ottiene $x = 2 $, che sostituito nell'eguaglianza fra le parti reali fornisce

$ 2 (4 + y^2) - 4 \sqrt{4 + y^2} - y = - 2 $

cioè

$ 2 (4 + y^2) - y + 2 = 4 \sqrt{4 + y^2} $

$ 2y^2 - y + 10 = 4 \sqrt{4 + y^2} $

Quest'ultima equazione non ha soluzioni reali, per cui l'equazione iniziale proposta non ha soluzioni.

[carlovalori]

grazie mille.