Equazione in campo complesso
Buonasera a tutti,
potrei essere banale, ma proprio non riesco a risolvere un'equazione in campo complesso.
L'equazione è la seguente:
$(bar z)^4 = |z|$
Ho provato considerando le soluzioni all'equazione con $z$ invece che con $bar z$ credendo magari di poter poi "coniugare" alla fine le soluzioni, ma rimango incastrato molto prima di questo punto.
Ho provato con le forme trigonometriche, esponenziali...sto letteralmente impazzendo...
Quale sarebbe il procedimento corretto?
Grazie a tutti
potrei essere banale, ma proprio non riesco a risolvere un'equazione in campo complesso.
L'equazione è la seguente:
$(bar z)^4 = |z|$
Ho provato considerando le soluzioni all'equazione con $z$ invece che con $bar z$ credendo magari di poter poi "coniugare" alla fine le soluzioni, ma rimango incastrato molto prima di questo punto.
Ho provato con le forme trigonometriche, esponenziali...sto letteralmente impazzendo...
Quale sarebbe il procedimento corretto?
Grazie a tutti
Risposte
Ciao longosamuel,
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $, $z = 1 $, $z = - 1 $, $z = i $, $z = - i $ sono senz'altro soluzioni dell'equazione proposta. Per ottenerle osserverei che $z \bar z = |z|^2 \implies z^4 (\bar z)^4 = |z|^8 $ per cui per $z \ne 0 $ si ha:
$|z|^8 = |z|z^4 \implies \rho^7 = z^4 = \rho^4 e^{i 4\theta} \implies \rho^3 = 1 e^{i 4\theta} $
dalla quale si ottiene $\rho = 1 $ e $ 4 \theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono) che corrispondono proprio alle $4$ soluzioni citate inizialmente:
$z_0 = 1 $
$z_1 = i $
$z_2 = - 1 $
$z_3 = - i $
In definitiva le $5$ soluzioni dell'equazione proposta sono le precedenti insieme a $z = 0 $
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $, $z = 1 $, $z = - 1 $, $z = i $, $z = - i $ sono senz'altro soluzioni dell'equazione proposta. Per ottenerle osserverei che $z \bar z = |z|^2 \implies z^4 (\bar z)^4 = |z|^8 $ per cui per $z \ne 0 $ si ha:
$|z|^8 = |z|z^4 \implies \rho^7 = z^4 = \rho^4 e^{i 4\theta} \implies \rho^3 = 1 e^{i 4\theta} $
dalla quale si ottiene $\rho = 1 $ e $ 4 \theta = 0 + 2k\pi \implies \theta = k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono) che corrispondono proprio alle $4$ soluzioni citate inizialmente:
$z_0 = 1 $
$z_1 = i $
$z_2 = - 1 $
$z_3 = - i $
In definitiva le $5$ soluzioni dell'equazione proposta sono le precedenti insieme a $z = 0 $
Grazie mille per la risposta!!!
(mi scuso per il ritardo)
(mi scuso per il ritardo)
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