Equazione in C: |z^3|=z^3
Ciao a tutti! Non so come risolvere questa equazione in $CC : |z^3|=z^3$.
Ho pensato che l'uguaglianza è vera se $z in RR , z>=0$ cioè se z= Parte reale di z.
Come faccio a trovale le altre soluzioni? Ha senso fare la sostituzione $z=a+ib$?
Poi c'è un'altra cosa di cui non sono sicuro: è vero che $|z^3|=|z|^3$?
Scusate, magari sono cose banali.. ma non so proprio come proseguire!
grazie
Ho pensato che l'uguaglianza è vera se $z in RR , z>=0$ cioè se z= Parte reale di z.
Come faccio a trovale le altre soluzioni? Ha senso fare la sostituzione $z=a+ib$?
Poi c'è un'altra cosa di cui non sono sicuro: è vero che $|z^3|=|z|^3$?
Scusate, magari sono cose banali.. ma non so proprio come proseguire!
grazie
Risposte
Quando non riesco a trovare una soluzione immediata, comincio a cercare degli appigli, oppure a sondare qualche caso particolare, qualche combinazione per vedere di diradare le nebbie.
Ad es:
$z^3=|z^3|$
$z=-1$ no.. $z=-2$ no.. $z=0$ si $z=2$ si $z=8$ si.... ok tutta la retta reale positiva ??? direi di si...
Quindi una parte delle soluzioni stanno sulla semiretta reale positiva...
Forse ci sono altre semirette che soddisfano l'equazione ?
Ad es:
$z^3=|z^3|$
$z=-1$ no.. $z=-2$ no.. $z=0$ si $z=2$ si $z=8$ si.... ok tutta la retta reale positiva ??? direi di si...
Quindi una parte delle soluzioni stanno sulla semiretta reale positiva...
Forse ci sono altre semirette che soddisfano l'equazione ?
Ciao Quinzio, grazie per aver risposto!
Io credo che nel campo reale non ci siano altre soluzioni! (almeno non mi pare di vederne altre!) In C invece ce ne devono essere altre due! Ma non riesco a "immaginarle"!
Io credo che nel campo reale non ci siano altre soluzioni! (almeno non mi pare di vederne altre!) In C invece ce ne devono essere altre due! Ma non riesco a "immaginarle"!
Prova la sostituzione $z=a+ib$
L'equazione stessa, \(z^3=|z^3|\), ti sta supplicando di fare la sostituzione \(w=z^3\); fatta tale sostituzione, l'equazione diventa \(|w|=w\) e ti sta urlando che \(w\) è reale e positivo (perché uguaglia il suo modulo, che è un reale \(\geq 0\)); conseguentemente \(z^3\) è un numero reale non negativo.
Ragionando in questa maniera abbiamo provato che \(z\) è soluzione dell'equazione se e solo se esiste un numero \(a\geq 0\) tale che \(z^3=a\); ma allora, per ogni fissato valore del paramentro \(a\geq 0\), basta risolvere l'equazione di terzo grado \(z^3=a\) per determinare le corrispondenti soluzioni dell'equazione assegnata.
Ragionando in questa maniera abbiamo provato che \(z\) è soluzione dell'equazione se e solo se esiste un numero \(a\geq 0\) tale che \(z^3=a\); ma allora, per ogni fissato valore del paramentro \(a\geq 0\), basta risolvere l'equazione di terzo grado \(z^3=a\) per determinare le corrispondenti soluzioni dell'equazione assegnata.
Grazie a tutti per le risposte! Quindi scrivo
$z^3=a=a(cos0 +i sen0)$
$ { ( z_0=a^(1/3)(cos( 0/3) +i sin (0/3)) = a^(1/3) ),( z_1=a^(1/3)(cos (2pi/3) +i sin (2pi/3)) = -a^(1/3)/2 +i*a^(1/3)*sqrt3 /2),( z_2=a^(1/3)(cos (4pi/3) +i sin (4pi/3)) = -a^(1/3)/2 -i*a^(1/3)*sqrt3 /2):} $
L'esercizio è completo?
Ma si poteva arrivare a questa soluzione anche per via algebrica? Io ho provato a fare come ha suggerito Gi8:
la funzione è $|z^3|=z^3$.
$z=a+ib$ , poi dico che $z^3=(a+ib)^3=(a^3 -3ab^2)+(3a^2b-b^3)i=x+iy$.
$|z^3|=|(a+ib)^3|=|x+iy|=sqrt(x^2+y^2)=(a+ib)^3=x+iy=z^3$.
elimino la radice elevando al quadrato..
$x^2+y^2=(x+iy)^2=x^2-y^2 +2xyi$
$2y^2 -2xyi=0$ che ha come soluzioni y=0 (con molteplicità due) e x=0..
se risolvo il sistema $ { ( x=a^3-3ab^2=0 ),( y=3a^2b-b^3=0 ):} $
Se ho risolto bene il sistema le soluzioni sono $a=0,+-b*sqrt3 ;b=0,+-a*sqrt3 $...
Quindi.. le soluzioni dell'equazione sono $a>=0,b=0$ oppure $a<0, b=+-a*sqrt3$
Mi rendo conto che il ragionamento che ha fatto Gugo è migliore sotto ogni punto di vista.. quello che ho cercato di fare è ottenere lo stesso risultato con passaggi algebrici!..Però non sono molto convinto del risultato! Voi che ne pensate?
$z^3=a=a(cos0 +i sen0)$
$ { ( z_0=a^(1/3)(cos( 0/3) +i sin (0/3)) = a^(1/3) ),( z_1=a^(1/3)(cos (2pi/3) +i sin (2pi/3)) = -a^(1/3)/2 +i*a^(1/3)*sqrt3 /2),( z_2=a^(1/3)(cos (4pi/3) +i sin (4pi/3)) = -a^(1/3)/2 -i*a^(1/3)*sqrt3 /2):} $
L'esercizio è completo?
Ma si poteva arrivare a questa soluzione anche per via algebrica? Io ho provato a fare come ha suggerito Gi8:
la funzione è $|z^3|=z^3$.
$z=a+ib$ , poi dico che $z^3=(a+ib)^3=(a^3 -3ab^2)+(3a^2b-b^3)i=x+iy$.
$|z^3|=|(a+ib)^3|=|x+iy|=sqrt(x^2+y^2)=(a+ib)^3=x+iy=z^3$.
elimino la radice elevando al quadrato..
$x^2+y^2=(x+iy)^2=x^2-y^2 +2xyi$
$2y^2 -2xyi=0$ che ha come soluzioni y=0 (con molteplicità due) e x=0..
se risolvo il sistema $ { ( x=a^3-3ab^2=0 ),( y=3a^2b-b^3=0 ):} $
Se ho risolto bene il sistema le soluzioni sono $a=0,+-b*sqrt3 ;b=0,+-a*sqrt3 $...
Quindi.. le soluzioni dell'equazione sono $a>=0,b=0$ oppure $a<0, b=+-a*sqrt3$
Mi rendo conto che il ragionamento che ha fatto Gugo è migliore sotto ogni punto di vista.. quello che ho cercato di fare è ottenere lo stesso risultato con passaggi algebrici!..Però non sono molto convinto del risultato! Voi che ne pensate?
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