Equazione in C: (z+2i)^3=8(z+1)^3

[MrMeaccia]

Ciao a tutti! Ho Alcuni dubbi su come risolvere le equazioni di numeri complessi! L'equazione in questione è $(z+2i)^3=8(z+1)^3$.
Ho provato a sviluppare le due potenze e ho ottenuto: $7 z^3 +(24-6i)z^2 +36z +(8+8i)=0$ .
Però non so come andare avanti: ho provato a scomporre il polinomio con Ruffini, ma non sono arrivato da nessuna parte!
Ho provato anche a sostituire $z=a+ib$ nelle due equazioni, ma cose si complicano così tanto che non mi pare proprio la strada corretta da seguire...
Voi come fareste a risolvere questa equazione?

[Sk_Anonymous]

Una soluzione di quell'equazione è \(\displaystyle z=-2+2i \). Sono andato un po' ad occhio, dopodiché ho fatto qualche conto.

[Quinzio]

Scusami sai, se ti trovi davanti $a^3=b^3$, come la risolvi ?
Affermando che $a=b$...
ti convince ?

[MrMeaccia]

Certo! È una cosa che avevo fatto.. poi però mi sono convinta che fosse sbagliata (ma forse mi sono sbagliata a convincermi di questo! eheh scusate il gioco di parole ) .. cioè.. si tratta di polinomi di terzo grado! In quel modo trovo solo una delle tre soluzioni! allora esisterà un modo per trovarne tutte e tre direttamente!
...ma non sono sicura che sia corretto il mio ragionamento!

[Quinzio]

Certo, è come dici tu.
Allora devi fare
$f_1(z)^3=8f_2(z)^3$
$((f_1(z))/(f_2(z)))^3=8$
quindi trovi le 3 radici di 8 e hai 3 equazioni.

[MrMeaccia]

AAA! Ma certo! Allora ho fatto così:
$w^3=((z+2i)/(z+1))^3=2^3$.. e allora $w=8^(1/3)$ che da le tre soluzioni : $ { ( z_0 =2 ),( z_1 =-1+ sqrt(3)i ),( z_2 =-1- sqrt(3)i ):} $.
Per trovare le soluzioni, non rimane che trovare $w=z_i ; _(i=(0,1,2))$
$w=z_0; (z+2i)/(z+1)=2; z=-2+2i $.

$w=z_1; (z+2i)/(z+1)=-1+ sqrt(3)i; z=1/7((1+2sqrt(3))+(3sqrt(3)+4)i) $.

$w=z_2; (z+2i)/(z+1)=-1- sqrt(3)i; z=1/7((-5-2sqrt(3))+(-sqrt(3)-4)i) $.

Direi che l'esercizio è fatto!!
Grazie mille Quinzio!