Equazione in C - secondo tempo

[lucas14]

z^3=[coniug(z)]^2

c'è qualke essere umano non dotato di poteri speciali in grado di risolvere questa robaccia????????

[Eredir]

Ti conviene scrivere $z$ in forma polare, ricordando che $bar {e^(i \theta)} = e^(- i \theta)$.

[Camillo]

Conviene usare la forma esponenziale : poni $ z = rho*e ^(i*theta) $ ; quindi
$z^3 = rho^3*e^(i*3*theta) $ ; $ bar z = rho*e^(-i*theta) $; $(bar z)^2 = rho^2*e^(-i*2*theta) $ e l'equazione diventa : $ rho^3*e^(i*3*theta) = rho^2*e^(-i*2*theta) $ , da cui.....

[franced]

"lucas":z^3=[coniug(z)]^2

c'è qualke essere umano non dotato di poteri speciali in grado di risolvere questa robaccia????????

Tanto per cominciare puoi fare qualche considerazione a priori sul modulo del numero complesso.

Se lo chiami $\rho$, vedi che $\rho^3 = \rho^2$ e quindi

hai due sole possibilità:

$\rho = 0$ che corrisponde a $z = 0$

oppure

$\rho = 1$ che equivale a dire che $z$ sta sul cerchio unitario.

A questo punto puoi notare che se moltiplichi a sinistra e a destra per $z^2$

troverai che:

$z^3 * z^2 = [conj(z)] * z^2$;

ricordando ora che si ha $conj(z) * z = |z|^2$ si ricava:

$[conj(z)] * z^2 = |z|^4 = 1$ e quindi:

$z^3 * z^2 = 1$ ovvero:

$z^5 = 1$.

Quindi le soluzioni sono $z=0$ (non va dimenticato..) e le radici quinte dell'unità.

Francesco Daddi

[Camillo]

Puoi anche procedere così per trovare le altre soluzioni in aggiunta a $ z = 0 $, le soluzioni cioè relative a $ rho = 1 $ .
L'equazione da risolvere si riduce a $ e^(i*3*theta) = e ^ ( -i*2*theta) $ il che comporta :

$ i*3*theta = -2*i*theta +2i*k*pi $ e quindi : $ 3 theta = -2 theta +2 k pi $ con $ k = 0,1,2,3,4, $
ottenendo $ theta = 2 k pi/5 $ e quindi $ z = e^(i *2kpi/5 )$ che sono appunto le radici quinte dell'unità.

N.B. tutto si basa sul fatto che due numeri complessi sono uguali se hanno
lo stesso modulo
e
argomenti che differiscono di $2kpi $.

[franced]

Sì, ma la mia soluzione mi sembra più "naturale"..

Se si può fare a meno della forma polare perché ce la vogliamo
mettere per forza?

Francesco Daddi

[Camillo]

E poi come le calcoli le radici quinte dell'unità ? Con la forma trigonometrica immagino .
Sono un fan della forma polare, quando conveniente

[franced]

Forse non hai capito, io sono arrivato a dimostrare che le radici quinte
dell'unità sono le soluzioni dell'equazione, il tutto senza passare dalla
forma polare.

Se poi a te piace particolarmente, usala!

Francesco Daddi

[Camillo]

Ho capito, tranquillo ! la mia considerazione era differente