Equazione in C
Salve, voevo verificare se le soluzioni di questa equazione fossero corrette:
$(1-z)^5=(1+z)^5 ->(1-x-iy)^5=(1+x+iy)^5 -> {1-x=1+x$ e $ -iy=iy}$ $->$ $x=0$ e $iy=0$
Concordate?
$(1-z)^5=(1+z)^5 ->(1-x-iy)^5=(1+x+iy)^5 -> {1-x=1+x$ e $ -iy=iy}$ $->$ $x=0$ e $iy=0$
Concordate?
Risposte
Assolutamente no. L'equazione è di quinto grado e quindi devi avere 5 soluzioni. Sicuramente $z=0$ è una soluzione (quella che hai trovato) ma ce ne sono altre 4. Io direi che un modo intelligente di risolvere il problema è il seguente: dal momento che $z=-1$ non è soluzione (basta sostituire per verificarlo), posso dividere per $(1+z)^5$, ricavando l'equazione equivalente
$$\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^5=1$$
Posto $w=\frac{1-z}{1+z}$, l'equazione si riduce a $w^5=1$ e quindi dobbiamo calcolare le 5 radici quinte dell'unità
$$w_k=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5},\qquad k=0,1,2,3,4$$
A questo punto le soluzioni cercate sono quelle dell'equazione
$$\frac{1-z}{1+z}=w_k\ \Rightarrow\ 1-z=w_k+w_k z\ \Rightarrow\ z(w_k+1)=1-w_k$$
e quindi
$$z_k=\frac{1-w_k}{1+w_k},\qquad k=0,1,2,3,4$$
Nota: per $k=0$ si ha $w_0=1$ e quindi $z_0=0$ che è la soluzione trovata da te.
$$\left(\frac{1-z}{1+z}\right)^5=1$$
Posto $w=\frac{1-z}{1+z}$, l'equazione si riduce a $w^5=1$ e quindi dobbiamo calcolare le 5 radici quinte dell'unità
$$w_k=\cos\frac{2k\pi}{5}+i\sin\frac{2k\pi}{5},\qquad k=0,1,2,3,4$$
A questo punto le soluzioni cercate sono quelle dell'equazione
$$\frac{1-z}{1+z}=w_k\ \Rightarrow\ 1-z=w_k+w_k z\ \Rightarrow\ z(w_k+1)=1-w_k$$
e quindi
$$z_k=\frac{1-w_k}{1+w_k},\qquad k=0,1,2,3,4$$
Nota: per $k=0$ si ha $w_0=1$ e quindi $z_0=0$ che è la soluzione trovata da te.
Grazie. Le soluzioni $ z_1=(1-(cos(2/5pi) + isin(2/5pi)))/(1+(cos(2/5pi) + isin(2/5pi)))$, $z_2$,$z_3$,$z_4$ le lascio così o le metto in forma algebrica?
Potresti provare a scriverle in forma algebrica, ma gli angoli che vengono fuori (multipli di 72°) non sono proprio comodissimi da calcolare. Ti faccio anche presente che
$$\frac{1-w}{1+w}=\frac{1-w}{1+w}\cdot\frac{1-\bar{w}}{1+\bar{w}}=\frac{1-w-\bar{w}-|w|^2}{1+w+\bar{w}+|w|^2}=\frac{1-2i\mathrm{Im}(w)+|w|^2}{1+2\mathrm{Re}(w)+|w|^2}$$
dove $w$ è uno dei $w_k$ di cui sopra. Considerando che
$$\mathrm{Re}(w)=\cos\frac{2k\pi}{5},\qquad \mathrm{Im}(w)=\sin\frac{2k\pi}{5},\qquad |w|^2=1$$
ottieni
$$z=\frac{2\left(1-i\sin\frac{2k\pi}{5}\right)}{2\left(1+\cos\frac{2k\pi}{5}\right)}=\frac{1-i\sin\frac{2k\pi}{5}}{1+\cos\frac{2k\pi}{5}}$$
$$\frac{1-w}{1+w}=\frac{1-w}{1+w}\cdot\frac{1-\bar{w}}{1+\bar{w}}=\frac{1-w-\bar{w}-|w|^2}{1+w+\bar{w}+|w|^2}=\frac{1-2i\mathrm{Im}(w)+|w|^2}{1+2\mathrm{Re}(w)+|w|^2}$$
dove $w$ è uno dei $w_k$ di cui sopra. Considerando che
$$\mathrm{Re}(w)=\cos\frac{2k\pi}{5},\qquad \mathrm{Im}(w)=\sin\frac{2k\pi}{5},\qquad |w|^2=1$$
ottieni
$$z=\frac{2\left(1-i\sin\frac{2k\pi}{5}\right)}{2\left(1+\cos\frac{2k\pi}{5}\right)}=\frac{1-i\sin\frac{2k\pi}{5}}{1+\cos\frac{2k\pi}{5}}$$
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