Equazione Goniometrica Impossibile!!
Vi prego aiutatemi a risolvere questa equazione goniometrica che sembra impossibile. Grazie mille. (il risultato si trova ed è 30 gradi andando a sostituire l'angolo, ma algebricamente non ci riesco). Grazie in anticipo a ki mi aiuterà.
Letteralmente: 4 per seno al cubo di x per ( 10 per radice di 3 - 8 per coseno di x ) = 3 per radice di 3
Matematicamente: 4sen^3x(10rad3 - 8cosx) = 3rad3
rad = radice
Letteralmente: 4 per seno al cubo di x per ( 10 per radice di 3 - 8 per coseno di x ) = 3 per radice di 3
Matematicamente: 4sen^3x(10rad3 - 8cosx) = 3rad3
rad = radice
Risposte
Costruire equazioni e' certamente
facile ma l'estensore di esercizi di tal genere
dovrebbe averne in mente una possibile soluzione
....prima ancora del problema stesso.
Secondo me,a certi livelli di apprendimento, proporre
questioni che non sono risolubili elementarmente
o che lo sono solo tramite assurdi contorcimenti e'
un mezzo straordinariamente efficiente
per rendere la matematica un vero tormento
e di conseguenza farla ripudiare.
E questo e' un vero peccato!
karl.
facile ma l'estensore di esercizi di tal genere
dovrebbe averne in mente una possibile soluzione
....prima ancora del problema stesso.
Secondo me,a certi livelli di apprendimento, proporre
questioni che non sono risolubili elementarmente
o che lo sono solo tramite assurdi contorcimenti e'
un mezzo straordinariamente efficiente
per rendere la matematica un vero tormento
e di conseguenza farla ripudiare.
E questo e' un vero peccato!
karl.
karl, è l'equazione risolvente di un problema di trigonometria (quarta superiore) presente sul mio libro di testo. Sono uno studente, figurati se mi metto a costruire equazioni goniometriche. Ci hanno già provato 4 professori a risolverla e tutti mi hanno detto che non ci riescono, ma si trova sostituendo 30 gradi. Il problema è risolverla algebricamente. Mi dai una mano?
Non sempre è necessario fare tutti i passaggi, e potrebbe essere che lo scopo dell'esercizio fosse proprio trovare il risultato con un metodo più empirico...
cmq esistono sempre i metodi numerici...
cmq esistono sempre i metodi numerici...
Non era possibile trovare il risultato con metodi empirici...non ti danno un problema per fartelo risolvere guardando il risultato, come ho fatto io per capire che era 30°.
Non ce l'ho con BlackIceX che e' la vittima
della situazione ma con chi,con un pizzico di
sadismo, ha proposto l'esercizio.
E' vero che ci sono molti metodi numerici
ma non credo siano proponibili in 4° liceo e
per di piu' all''inizio dell'anno.
Quanto alla soluzione ,l'unica a cui posso pensare
e' di esprimere tutto in seno, ma ne viene un'equazione
di 6° grado.
Tuttavia,da quello che dici, pare che l'equazione
provenga da un problema:se ne posti la traccia puo'
essere che ci sia una strada che porti ad una
risolvente piu' abbordabile.
karl.
della situazione ma con chi,con un pizzico di
sadismo, ha proposto l'esercizio.
E' vero che ci sono molti metodi numerici
ma non credo siano proponibili in 4° liceo e
per di piu' all''inizio dell'anno.
Quanto alla soluzione ,l'unica a cui posso pensare
e' di esprimere tutto in seno, ma ne viene un'equazione
di 6° grado.
Tuttavia,da quello che dici, pare che l'equazione
provenga da un problema:se ne posti la traccia puo'
essere che ci sia una strada che porti ad una
risolvente piu' abbordabile.
karl.
La traccia nn ce l'ho più, la tengono i prof. E anke loro sono arrivati ad esprimere tutto in seno col sesto grado. Nessuna soluzione? Io sono arrivato qui:
(3senx-sen3x)(10rad3-8cosx)=3rad3
Ho usato solo questa:
3sen(a) - sen(3a)
------------------- = sen^3(a)
4
(3senx-sen3x)(10rad3-8cosx)=3rad3
Ho usato solo questa:
3sen(a) - sen(3a)
------------------- = sen^3(a)
4
Scusa, credevo che il valore di 30 gradi lo avessi ottenuto in altro modo, magari grafico, cmq credo che il metodo di bisezione sia abbordabile a chiunque...
Non credo che usare la triplicazione porti a qualcosa.
L'equazione in seno (che e' addirittura di 8°! ) e':
1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0
Una soluzione (non l'unica probabilmente) e' appunto:
x=30° da cui la soluzione generale:x=[(-1)^k]*30°+k*180°
con k in Z.
karl.
P.S. Tutti metodi sono abbordabili...se si conoscono.
L'equazione in seno (che e' addirittura di 8°! ) e':
1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0
Una soluzione (non l'unica probabilmente) e' appunto:
x=30° da cui la soluzione generale:x=[(-1)^k]*30°+k*180°
con k in Z.
karl.
P.S. Tutti metodi sono abbordabili...se si conoscono.
Certo, ma credo che al 4 cientifico sarebbe uno strumento importante...
karl, questa nn c'è modo di portarla avanti e risolverla?
1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0
1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0
Allo stato delle tue conoscenze ,l'equazione
si puo' risolvere solo per tentativi.Il piu'
comune e' cercare soluzioni del tipo p/q
dove p e' un divisore (con segno) del termine noto(=27) e q e'
un divisore (sempre con segno) del coefficiente del termine di grado
piu' alto (=1024).Le frazioni possibili sono moltissime
(dato i numerosi divisori di 27 e 1024);una di queste
frazioni e' appunto 1/2 che e' effettivamente soluzione
perche' sostituita nell'equazione in questione la soddisfa.
Di piu' non e' possibile.
karl.
si puo' risolvere solo per tentativi.Il piu'
comune e' cercare soluzioni del tipo p/q
dove p e' un divisore (con segno) del termine noto(=27) e q e'
un divisore (sempre con segno) del coefficiente del termine di grado
piu' alto (=1024).Le frazioni possibili sono moltissime
(dato i numerosi divisori di 27 e 1024);una di queste
frazioni e' appunto 1/2 che e' effettivamente soluzione
perche' sostituita nell'equazione in questione la soddisfa.
Di piu' non e' possibile.
karl.
E allo stato delle tue conoscenze, come la risolveresti? [:)]
Evidentemente hai equivocato la mia risposta.
Mi riferivo alle tue conoscenze scolastiche,visto
che tu stesso hai affermato di frequentare il 4°.
Personalmente sono propenso a riconoscerti una
cultura matematica certamente superiore alla mia.
Ti confesso che ,a questo punto e dopo aver stabilito
piu' volte che una tale equazione non ha una soluzione
elementare,la tua insistenza mi produce la sgradevole
sensazione che l'equazione sia stata per te solo un
pretesto per vedere cosa sarebbe successo.
karl.
Mi riferivo alle tue conoscenze scolastiche,visto
che tu stesso hai affermato di frequentare il 4°.
Personalmente sono propenso a riconoscerti una
cultura matematica certamente superiore alla mia.
Ti confesso che ,a questo punto e dopo aver stabilito
piu' volte che una tale equazione non ha una soluzione
elementare,la tua insistenza mi produce la sgradevole
sensazione che l'equazione sia stata per te solo un
pretesto per vedere cosa sarebbe successo.
karl.
No, karl non fraintendere il mio post. Intendevo dire: con gli strumenti algebrici che ho io non è certamente risolvibile, ma tu o qualunque esperto di matematica avrebbe altri mezzi (leggi, formule ecc.) per risolverla? Cioè voglio sapere se esiste una soluzione anke non alla mia portata. Tutto qua, nulla di provocatiro, credimi. [:)]
Ps: credimi non ho una grande cultura matematica, faccio il possibile, ma ho ancora molto da imparare...non sarei arrivato neanke a portarla tutta in seno. I 4 prof che hanno provato a risolverla sanno ke avrei chiesto a qualcuno su internet, anke loro vorrebbero sapere come si risolve. Ti ringrazio se vorrai ancora aiutarmi.
Ps: credimi non ho una grande cultura matematica, faccio il possibile, ma ho ancora molto da imparare...non sarei arrivato neanke a portarla tutta in seno. I 4 prof che hanno provato a risolverla sanno ke avrei chiesto a qualcuno su internet, anke loro vorrebbero sapere come si risolve. Ti ringrazio se vorrai ancora aiutarmi.
Posso darti una traccia, magari da discutere anche con tali professori?
io propomgo due strategie:
a) (metodo brutale) Con un metodo numerico, ad esempio il metodo di newton, la cui convergenza è nota, potresti trovare uno zero della funzione, con una discreta approssimazione, ugualmente con il metodo di bisezione....
b) (metodo intelligente)Molti problemi di trigonometria, che sono espressi con equazioni goniometriche, possono essere riformulati considerando i segmenti come vettori opportunamente disposti, e quel punto risolvere il problema con gli strumenti del calcolo vettoriale, ossia trovare una formulazion del problema alternativa e più facilmente risolubile....
io propomgo due strategie:
a) (metodo brutale) Con un metodo numerico, ad esempio il metodo di newton, la cui convergenza è nota, potresti trovare uno zero della funzione, con una discreta approssimazione, ugualmente con il metodo di bisezione....
b) (metodo intelligente)Molti problemi di trigonometria, che sono espressi con equazioni goniometriche, possono essere riformulati considerando i segmenti come vettori opportunamente disposti, e quel punto risolvere il problema con gli strumenti del calcolo vettoriale, ossia trovare una formulazion del problema alternativa e più facilmente risolubile....
comunque, BlackIceX, sei a cavallo:
per la tua
"1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0"
cioè
"1024*y^8+3776*y^6-720*y^3+27=0"
good news
la soluz. esatta y=sinx=1/2 la trovi "subito (si fa per dire)", abbassando il grado del polinomio
con Ruffini come ha ben detto karl (senza citare il nome Ruffini) nel suo msg che smitizzava il problema
dandone il metodo risolutivo:
"l'equazione si puo' risolvere solo per tentativi.Il piu' comune e' cercare soluzioni del tipo p/q
dove p e' un divisore (con segno) del termine noto(=27)
e q e' un divisore (sempre con segno) del coefficiente del termine di grado piu' alto (=1024)"
Ruffini lo si "fa" ancora?
bad news
Il fatto è che Ruffini a scuola ci viene (veniva) venduto (con un paio di esempietti elementari) come un metodo
semplice, e lo è;
però, come dice karl, implica di tentare tutte le possibili combinazioni di +- p e +- q
quindi semplice, ma palloso; però è garantito che ci arrivi con un numero finito di prove.
(a occhio, direi che devi provare +- 1,3,9,27
fratto 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024
in tot. 2 volte 4*11 = 88 prove)
ho la sensazione che, in base all'alternanza dei segni dei coeff., se ne possa risparmiare qualcuna, ma qui sono debolissimo; karl mi sembra avesse postato delle considerazioni sull'argomento, ma chi le trova se la search del forum non funziona?
concludendo, se hai fortuna e cominci i tentativi dalle frazioni più semplici, imbrocchi subito "1/2" e vai fischiettando al cinema; altrimenti ti ci vuole una vita.
gli autori del problema si accontentavano di questa (penserei di sì), oppure volevano TUTTE le soluzioni?
se sì son cavoli acidi:
abbassato al 7° grado, quel polinomio è inattaccabile da Ruffini e non sembra manipolabile nemmeno trigonometricamente (però questo è da dimostrare ...)
per cui l'altra soluz. reale approssimata y = sinx ~= .3744697, cioè x ~= .3838245
ti costerebbe il ricorso (come è già stato detto da tutti) ad uno dei tanti macinini numerici ad approssimazioni successive (che ti mostrerebbe anche che le restanti sei soluz. sono complesse coniugate, e quindi forse non ti interessano)
tony
per la tua
"1024(sinx)^8+3776(sinx)^6-720(sinx)^3+27=0"
cioè
"1024*y^8+3776*y^6-720*y^3+27=0"
good news
la soluz. esatta y=sinx=1/2 la trovi "subito (si fa per dire)", abbassando il grado del polinomio
con Ruffini come ha ben detto karl (senza citare il nome Ruffini) nel suo msg che smitizzava il problema
dandone il metodo risolutivo:
"l'equazione si puo' risolvere solo per tentativi.Il piu' comune e' cercare soluzioni del tipo p/q
dove p e' un divisore (con segno) del termine noto(=27)
e q e' un divisore (sempre con segno) del coefficiente del termine di grado piu' alto (=1024)"
Ruffini lo si "fa" ancora?
bad news
Il fatto è che Ruffini a scuola ci viene (veniva) venduto (con un paio di esempietti elementari) come un metodo
semplice, e lo è;
però, come dice karl, implica di tentare tutte le possibili combinazioni di +- p e +- q
quindi semplice, ma palloso; però è garantito che ci arrivi con un numero finito di prove.
(a occhio, direi che devi provare +- 1,3,9,27
fratto 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024
in tot. 2 volte 4*11 = 88 prove)
ho la sensazione che, in base all'alternanza dei segni dei coeff., se ne possa risparmiare qualcuna, ma qui sono debolissimo; karl mi sembra avesse postato delle considerazioni sull'argomento, ma chi le trova se la search del forum non funziona?
concludendo, se hai fortuna e cominci i tentativi dalle frazioni più semplici, imbrocchi subito "1/2" e vai fischiettando al cinema; altrimenti ti ci vuole una vita.
gli autori del problema si accontentavano di questa (penserei di sì), oppure volevano TUTTE le soluzioni?
se sì son cavoli acidi:
abbassato al 7° grado, quel polinomio è inattaccabile da Ruffini e non sembra manipolabile nemmeno trigonometricamente (però questo è da dimostrare ...)
per cui l'altra soluz. reale approssimata y = sinx ~= .3744697, cioè x ~= .3838245
ti costerebbe il ricorso (come è già stato detto da tutti) ad uno dei tanti macinini numerici ad approssimazioni successive (che ti mostrerebbe anche che le restanti sei soluz. sono complesse coniugate, e quindi forse non ti interessano)
tony
Dopo l'esauriente (e,come sempre,dettagliata )
risposta di Tony,altro non mi sentirei di aggiungere.
Per quanto riguarda mie precedenti considerazioni
sull'argomento,riferisco solo di un teorema (di cui ho
cercato invano una dimostrazione)che recita cosi':
Se in un'equazione algebrica (a coefficienti reali)
tra due termini di egual segno manca anche un sol termine
allora l'equazione ha almeno due radici complesse coniugate.
Nel nostro caso ,ponendo sinx=y e cercando le soluzioni di y
anziche' di sinx,si vede che tra 1024(y)^8 e 3776(y)^6 manca
y^7 e pertanto l'equazione ha sicuramente due radici
complesse ( e due reali ).Mutando y in -y si ha l'equazione
1024*y^8+3776*y^6+720*y^3+27=0 che ,per la medesima regola ,
ha altre 4 radici complesse a cui corrispondono,previo
un inessenziale cambio di segno,altrettante radici complesse
dell'equazione d'origine.A questo punto direi che l'equazione
ha solo due radici reali (di cui una e' sempre 1/2
e l'altra accettabile se <=1 in modulo)
a cui corrispondono ovviamente infinite soluzione di x.
Saluti al grande Tony.
karl.
risposta di Tony,altro non mi sentirei di aggiungere.
Per quanto riguarda mie precedenti considerazioni
sull'argomento,riferisco solo di un teorema (di cui ho
cercato invano una dimostrazione)che recita cosi':
Se in un'equazione algebrica (a coefficienti reali)
tra due termini di egual segno manca anche un sol termine
allora l'equazione ha almeno due radici complesse coniugate.
Nel nostro caso ,ponendo sinx=y e cercando le soluzioni di y
anziche' di sinx,si vede che tra 1024(y)^8 e 3776(y)^6 manca
y^7 e pertanto l'equazione ha sicuramente due radici
complesse ( e due reali ).Mutando y in -y si ha l'equazione
1024*y^8+3776*y^6+720*y^3+27=0 che ,per la medesima regola ,
ha altre 4 radici complesse a cui corrispondono,previo
un inessenziale cambio di segno,altrettante radici complesse
dell'equazione d'origine.A questo punto direi che l'equazione
ha solo due radici reali (di cui una e' sempre 1/2
e l'altra accettabile se <=1 in modulo)
a cui corrispondono ovviamente infinite soluzione di x.
Saluti al grande Tony.
karl.
Che le radici reali siano solo 2 è confermato dal grafico che interseca l'asse x in 2 soli punti .
Camillo
Camillo
ecco cosa m'era rimasto nell'orecchio del post di karl:
e questa considerazione ci consente di risparmiare lavoro con Ruffini:
se dopo 15 prove abbiamo avuto la fortuna di beccare già tutte e 3 le radici reali, e non ci interessano le restanti 8 complesse (*), possiamo dichiarare finito il lavoro e, a quel cinema che dicevo, vedere almeno la fine del film.
questo non vale ovviamente per il nostro problema: alla caccia della seconda radice reale Ruffini ci terrebbe inchiodati a tavolino (volli, volli, fortissimamente volli) per tutte le 88 prove ;-(
nota (*) sì undicesimo grado; allievo herr von Masoch, alla lavagna!
la prendo sul ridere, karl; mi ricorda di quando eravamo veramente piccoli: bastava che uno fosse già in prima elementare per sembrarci grande
tony
quote:
... Se in un'equazione algebrica (a coefficienti reali)
tra due termini di egual segno manca anche un sol termine
allora l'equazione ha almeno due radici complesse coniugate.
... [karl]
e questa considerazione ci consente di risparmiare lavoro con Ruffini:
se dopo 15 prove abbiamo avuto la fortuna di beccare già tutte e 3 le radici reali, e non ci interessano le restanti 8 complesse (*), possiamo dichiarare finito il lavoro e, a quel cinema che dicevo, vedere almeno la fine del film.
questo non vale ovviamente per il nostro problema: alla caccia della seconda radice reale Ruffini ci terrebbe inchiodati a tavolino (volli, volli, fortissimamente volli) per tutte le 88 prove ;-(
nota (*) sì undicesimo grado; allievo herr von Masoch, alla lavagna!
quote:
Saluti al grande Tony. [karl]
la prendo sul ridere, karl; mi ricorda di quando eravamo veramente piccoli: bastava che uno fosse già in prima elementare per sembrarci grande
tony
Riprendo il discorso su questa equazione
per segnalare che p e q vanno scelti in modo
che p+q divida P(-1) e p-q divida P(1).
Cio' permette,tenuto conto che P(-1) e P(1)
sono fissi e facilmente calcolabili,di eliminare
di colpo molte combinazioni di p e di q semplificando
di parecchio la ricerca delle eventuali radici
razionali.
karl.
per segnalare che p e q vanno scelti in modo
che p+q divida P(-1) e p-q divida P(1).
Cio' permette,tenuto conto che P(-1) e P(1)
sono fissi e facilmente calcolabili,di eliminare
di colpo molte combinazioni di p e di q semplificando
di parecchio la ricerca delle eventuali radici
razionali.
karl.
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