Equazione goniometrica difficoltosa
Ciao. Non sono in grado di comprendere un esercizio proposto dal mio libro di testo.
E' questo:
$sen (5x) = 16 sen^5(x)$
il testo dice che è " facile verificare che":
$sen (5x) = 16 sen^5(x) - 20 sen^3(x) + 5 sen(x)$
Mi potreste dare un suggerimento su quali formule (addizione, bisezione, etc) rivolgere la mia attenzione per poter capire come si è arrivati a questa trasformazione?
Grazie infinite.
E' questo:
$sen (5x) = 16 sen^5(x)$
il testo dice che è " facile verificare che":
$sen (5x) = 16 sen^5(x) - 20 sen^3(x) + 5 sen(x)$
Mi potreste dare un suggerimento su quali formule (addizione, bisezione, etc) rivolgere la mia attenzione per poter capire come si è arrivati a questa trasformazione?
Grazie infinite.
Risposte
Ciao!
Potresti provare con $sin(4x+x)$ e usare le formule di addizione, per poi usare quelle di duplicazione. Hai provato?
Potresti provare con $sin(4x+x)$ e usare le formule di addizione, per poi usare quelle di duplicazione. Hai provato?
Si . Ho provato (però con $sen (3×+2×)$ e mi sono ritrovata in un ginepro ... chissà se con $sen (4×+×)$ magari viene meglio ... ma vorrei essere più sicura
Grazie ci provo a asap
Grazie ci provo a asap
Guardate in "Scerveliamoci un po'", trovate uno spunto ...
"rosa munda":
$sen (5x) = 16 sen^5(x) - 20 sen^3(x) + 5 sen(x)$
Tutte le formule trigonometriche si riducono a questa qui:
\[
e^{ix}=\cos x+ i \sin x.\]
In questo caso,
\[
(\sin x)^5= \frac{ ( e^{ix} -e^{-ix})^5}{(2i)^5}, \]
e bisogna sviluppare il membro destro. È una scocciatura, ma funziona.
Grazie "dissonance" ... immagino che tu stia utilizzando i numeri complessi (che conosco poco, ho solo letto qualche lezione ma di pratica = zero) , ma il mio testo è di livello inferiore e penso ci sia un'altra strada che si possa percorrere .... spero che qualcuno me lo sappia dire ...
Grazie anche ad axpgn. .. vedrò se trovo qualche spunto su scervelliamoci ... non l'ho mai visitato spero sia facile...
Ciao rosa munda,
Seguendo il suggerimento iniziale di anto_zoolander, farei così:
$ sin(5x) = sin(4x + x) = sin(4x)cos x + cos(4x) sin x = $
$ = 2sin(2x) cos(2x)cos x + (1 - 2 sin^2(2x))sin x = $
$ = 4 sin x cos x (1 - 2 sin^2 x)cos x + [1 - 2(2sin x cos x)^2]sin x = $
$ = 4 sin x cos^2 x (1 - 2sin^2 x) + [1 - 8sin^2 x(1 - sin^2 x)]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - sin^2 x)(1 - 2sin^2 x) + [1 - 8 sin^2 x + 8 sin^4 x]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - 3 sin^2 x + 2 sin^4 x) + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 4 sin x - 12 sin^3 x + 8 sin^5 x + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x $
Dunque l'equazione iniziale proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$ 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x = 16 sin^5 x $
$ sin x - 4 sin^3 x = 0 $
$sin x(1 - 4 sin^2 x) = 0 $
A questo punto dovresti essere in grado di trovare le soluzioni autonomamente...
Seguendo il suggerimento iniziale di anto_zoolander, farei così:
$ sin(5x) = sin(4x + x) = sin(4x)cos x + cos(4x) sin x = $
$ = 2sin(2x) cos(2x)cos x + (1 - 2 sin^2(2x))sin x = $
$ = 4 sin x cos x (1 - 2 sin^2 x)cos x + [1 - 2(2sin x cos x)^2]sin x = $
$ = 4 sin x cos^2 x (1 - 2sin^2 x) + [1 - 8sin^2 x(1 - sin^2 x)]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - sin^2 x)(1 - 2sin^2 x) + [1 - 8 sin^2 x + 8 sin^4 x]sin x = $
$ = 4 sin x (1 - 3 sin^2 x + 2 sin^4 x) + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 4 sin x - 12 sin^3 x + 8 sin^5 x + sin x - 8 sin^3 x + 8 sin^5 x = $
$ = 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x $
Dunque l'equazione iniziale proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$ 16 sin^5 x - 20 sin^3 x + 5 sin x = 16 sin^5 x $
$ sin x - 4 sin^3 x = 0 $
$sin x(1 - 4 sin^2 x) = 0 $
A questo punto dovresti essere in grado di trovare le soluzioni autonomamente...
Mille grazie .... vado a controllare gli errori fatti (il mio famoso ginepraio !) perché ho tentato anche questa questa strada ma mi sono persa già due volte ....avevo proprio bisogno di aiuto. buona giornata.
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