Equazione diffusione con dato iniziale discontinuo
buonasera a tutti, vi scrivo per un dubbio...purtroppo non sono riuscito a seguire una lezione in università e ho perso una spiegazione, oltretutto sul libro che ho a disposizione non trovo nulla, potete darmi una mano?
il problema è risolvere un'equazione di diffusione con condizioni di Dirichlet omogenee e con dato iniziale discontinuo ad esempio $f(x)=x*(pi/2-x)$ per $0<=x<=pi/2$ e $f(x)=0$ per $pi/2<=x<=pi$
dato che i coefficienti della soluzione dell'equazione di diffusione si possono definire come i coeff della serie di Fourier in soli seni (il problema infatti è di Cauchy-Dirichlet) della f(x) resa dispari e periodizzata, pensavo bastasse spezzare l'integrale in due parti, così:
$d_n=2/pi intf(x)*sin(nx)dx=2/pi intx(pi/2-x)*sin(nx)dx + 2/pi int(0*sin(nx)dx)$ il primo tra $0<=x<=pi/2$ e il secondo tra $pi/2<=x<=pi$
però non mi torna il risultato...il procedimento sarebbe giusto?
il problema è risolvere un'equazione di diffusione con condizioni di Dirichlet omogenee e con dato iniziale discontinuo ad esempio $f(x)=x*(pi/2-x)$ per $0<=x<=pi/2$ e $f(x)=0$ per $pi/2<=x<=pi$
dato che i coefficienti della soluzione dell'equazione di diffusione si possono definire come i coeff della serie di Fourier in soli seni (il problema infatti è di Cauchy-Dirichlet) della f(x) resa dispari e periodizzata, pensavo bastasse spezzare l'integrale in due parti, così:
$d_n=2/pi intf(x)*sin(nx)dx=2/pi intx(pi/2-x)*sin(nx)dx + 2/pi int(0*sin(nx)dx)$ il primo tra $0<=x<=pi/2$ e il secondo tra $pi/2<=x<=pi$
però non mi torna il risultato...il procedimento sarebbe giusto?
Risposte
Fammi capire: tu dici che la tua soluzione dovrebbe avere la forma seguente
[tex]$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty A_n f_n(t)\sin(nx)$[/tex]
e che quindi [tex]$f(x)=u(x,0)=\sum_{n=0}^\infty A_n f_n(0)\sin(nx)$[/tex], giusto?
Perché sei certo della forma scritta sopra dell'equazione? (E questo che non capisco)
[tex]$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty A_n f_n(t)\sin(nx)$[/tex]
e che quindi [tex]$f(x)=u(x,0)=\sum_{n=0}^\infty A_n f_n(0)\sin(nx)$[/tex], giusto?
Perché sei certo della forma scritta sopra dell'equazione? (E questo che non capisco)
la soluzione è $u(x,t)=sum_{n=1}^\infty bn*e^(-n^2*t) * sin(nx)$
i coefficienti dn si possono calcolare, imponendo $u(x,0)=f(x)$, supponendo f sviluppabile in serie di Fourier di soli seni quindi $dn=sum_{n=1}^\infty f(x) * sin(nx)dx$
cosa non ti torna?
i coefficienti dn si possono calcolare, imponendo $u(x,0)=f(x)$, supponendo f sviluppabile in serie di Fourier di soli seni quindi $dn=sum_{n=1}^\infty f(x) * sin(nx)dx$
cosa non ti torna?
Guarda che la Teoria la cosnosco, visto che la insegno. Il problema è che c'è qualcosa in ciò che dici che non mi quadra. Me la scriveresti l'equazione, per favore? Anzi, mi scriveresti tutto il problema? (anche le condizioni al bordo).
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