Equazione diffusione

[miry93-thebest]

Ciao! Ho trovato difficoltà con questi esercizi:

a) Mostrare che $u_t = k(t)u_{x x}$ può essere trasformata nell'equazione
di diffusione col cambio di variabile indipendente

$\tau = int_0^t k(eta)d\eta.$

{Cenno: considerare la funzione $v(x,T)$ determinata da
$u(x, t) = v(x,\tau(t))$ e derivare opportunamente}

b) Mostrare che l'equazione $u_t = k*u_(x x) - b(t)*u_x$
può essere trasformata nell'equazione di diffusione col cambio di variabile spaziale

$E = x -int_0^t b(eta)d\eta.$

{Cenno: considerare la funzione $w(E, t)$ determinata da
$u(x, t) = w(E(x),t)$ e derivare opportunamente.}

a) ho pensato che $\tau'(t)=k(t)$ Supponendo che v(x, t) sia soluzione dell’equazione di diffusione
$v_t = v_(x x)$,
la funzione
$u(x, t) = v(x, τ(t))$
verifica
$u_t(x, t) = v_t(x, τ(t))*τ´(t) = v_t(x, τ(t))*κ(t)$
$u_(x x)(x, t) = v_(x x)(x, τ(t))$
e perciò anche
$u_t(x, t) = κ(t)*u_(x x)(x, t)$

è corretto?

[ciampax]

Ci sei, ma lo dici male. Parti dall'equazione per la $u$: allora, usando le derivate che hai scritto e andando a sostituire viene fuori
$$\kappa(t)\cdot v_t=k(t)\cdot v_{xx}$$
da cui segue
$$v_t=v_{xx}$$
e quindi $v$ soddisfa l'equazione di diffusione.

[miry93-thebest]

ok grazie. e quindi stessa cosa per la b che io avevo risolto cosi

$E_x(x, t) = 1$
$E_t(x, t) = –b(t)$

Supponendo che $w(x, t)$ sia soluzione dell’equazione di diffusione $w_t = k*w_(x x$,
la funzione
$u(x, t) = w(E(x,t), t)$
verifica
$u_t(x, t) = w_x(E(x,t), t)*E_t(x,t) + w_t(E(x,t), t) = –b(t)*w_x(E(x,t), t) + w_t(E(x,t), t)$
$u_x(x, t) = w_x(E(x,t), t)*E_x(x,t) = w_x(E(x,t), t)$
$u_(x x)(x, t) = w_(x x)(E(x,t), t)*E_x(x,t) = w_(x x)(E(x,t), t)$
e perciò anche
$u_t(x, t) = –b(t)u_x(x, t) + k*u_(x x)(x, t)$

[ciampax]

Di nuovo, devi partire dall'equazione in $u$ e ricavare quella in $w$, non il viceversa.