Equazione differenziele a coefficienti variabili
Buongiorno a tutti,
sono alle prese con un problema che ha portato alla formulazione di un'equazione differenziale a coefficienti variabili.
Essa è:
y'' + sen(x) sen (y) = 0
Non sono in grado di risolverla e non riesco a trovare letteratura a supporto.
Qualcuno può aiutarmi?
In caso fosse troppo difficile, si può trattare la forma:
y'' + sen(x) y = 0
Grazie in anticipo a tuti.
EffeVu
sono alle prese con un problema che ha portato alla formulazione di un'equazione differenziale a coefficienti variabili.
Essa è:
y'' + sen(x) sen (y) = 0
Non sono in grado di risolverla e non riesco a trovare letteratura a supporto.
Qualcuno può aiutarmi?
In caso fosse troppo difficile, si può trattare la forma:
y'' + sen(x) y = 0
Grazie in anticipo a tuti.
EffeVu
Risposte
Beh, l'equazione \(y^\prime (x)+\sin x\ \sin y(x)=0\) è una EDO a variabili separabili...
Mi risulta un po' strano che tu non sia riuscito a trovare "letteratura a supporto", dato che quelle a variabili separabili sono le tipiche equazioni che si risolvono fin dai primi corsi di Analisi.
*** EDIT: Scusa, non avevo visto il doppio apice... Insomma, la EDO è del secondo ordine, i.e. \(y^{\prime \prime} (x)+\sin x\ \sin y(x)=0\).
Effettivamente, dubito fortemente che essa sia risolubile elementarmente.
L'unica cosa che si potrebbe provare a fare è fare uno studio qualitativo delle soluzioni o della loro stabilità... Però, prima di imbarcarci in una cosa del genere (che comunque non è affatto semplice, perchè la EDO non è autonoma), servirebbe sapere quali sono le proprietà della soluzione che ti serve verificare (che ne sò, monotonia, concavità, distribuzione degli zeri, etc...) e quali sono le condizioni associate alla EDO (condizioni iniziali o condizioni al bordo? E, nel secondo caso, condizioni di che tipo: Dirichlet, Neumann, Robin, ...?).
Mi risulta un po' strano che tu non sia riuscito a trovare "letteratura a supporto", dato che quelle a variabili separabili sono le tipiche equazioni che si risolvono fin dai primi corsi di Analisi.
*** EDIT: Scusa, non avevo visto il doppio apice... Insomma, la EDO è del secondo ordine, i.e. \(y^{\prime \prime} (x)+\sin x\ \sin y(x)=0\).
Effettivamente, dubito fortemente che essa sia risolubile elementarmente.
L'unica cosa che si potrebbe provare a fare è fare uno studio qualitativo delle soluzioni o della loro stabilità... Però, prima di imbarcarci in una cosa del genere (che comunque non è affatto semplice, perchè la EDO non è autonoma), servirebbe sapere quali sono le proprietà della soluzione che ti serve verificare (che ne sò, monotonia, concavità, distribuzione degli zeri, etc...) e quali sono le condizioni associate alla EDO (condizioni iniziali o condizioni al bordo? E, nel secondo caso, condizioni di che tipo: Dirichlet, Neumann, Robin, ...?).
"EffeVu":Forse potrebbe essere interessante conoscere anche questo problema. Magari è possibile semplificare l'equazione che ne salta fuori.
sono alle prese con un problema che ha portato alla formulazione di un'equazione differenziale a coefficienti variabili.
Innanzituto grazie per la rapida risposta.
Le condizioni sono iniziali:
y(0) = c
y'(0) = 0
Uno studio qualitativo è più che sufficiente. Interesserebbe sapere l'andamento della y; la distribuzione degli zeri è già un ottimo contributo.
Grazie per ogni genere di spunto che riuscirete a darmi, se vi fosse possibile.
EffeVu
Le condizioni sono iniziali:
y(0) = c
y'(0) = 0
Uno studio qualitativo è più che sufficiente. Interesserebbe sapere l'andamento della y; la distribuzione degli zeri è già un ottimo contributo.
Grazie per ogni genere di spunto che riuscirete a darmi, se vi fosse possibile.
EffeVu
Beh, se \(c=k\pi\), con \(k\in \mathbb{Z}\), la soluzione è quella costante (i.e., \(y(x)=k\pi\)).
Se \(c\neq k\pi\), allora si deve un po' vedere...
Se \(c\neq k\pi\), allora si deve un po' vedere...
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