Equazione differenziale.....soluzione in grande
salve a tutti,
ho un'equazione differenziale$y'-8xy=0$;
risolvendola mi esce $y=e^(4x^2)$ o meglio $y=c_1 *e^(4x^2)$
ora ho 4 opzioni:
A) $y(x)$ è una soluzione in grande
B) $y(x)$ è una funzione limitata
C) $y(x)$ il dominio di definizione è un intervallo limitato
D) $y(x)$ è una funzione dispari
Di primo acchito escluderei le opzioni B, C e D dunque la risposta giusta secondo me è la A.
Ovviamente vorrei sapere il perchè, non mi accontento di andare per esclusione.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie !!
ho un'equazione differenziale$y'-8xy=0$;
risolvendola mi esce $y=e^(4x^2)$ o meglio $y=c_1 *e^(4x^2)$
ora ho 4 opzioni:
A) $y(x)$ è una soluzione in grande
B) $y(x)$ è una funzione limitata
C) $y(x)$ il dominio di definizione è un intervallo limitato
D) $y(x)$ è una funzione dispari
Di primo acchito escluderei le opzioni B, C e D dunque la risposta giusta secondo me è la A.
Ovviamente vorrei sapere il perchè, non mi accontento di andare per esclusione.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie !!
Risposte
La risposta corretta è la a), si. E aggiungo: potevi rispondere subito senza fare neanche un conto. Intanto, ricordati che significa "soluzione in grande" (magari scrivi qui la definizione, che sicuramente c'è sul tuo libro di analisi). Poi osserva che questo problema è relativamente semplice da trattare, perché appartiene ad una classe particolare di equazioni...quale?
il bello è che sul libro non la trovo...per questo ho aperto il topic!!
Potete darmi la definizione?
grazie
Potete darmi la definizione?
grazie
"bius88":Probabilmente si usa un linguaggio diverso, magari "soluzione globale" per "soluzione in grande", opposto a "soluzione locale" per "soluzione in piccolo". Che libro usi? Cerca nel paragrafo dedicato ai teoremi di esistenza e unicità. Poi se proprio non la trovi ti dico come la vedo io.
il bello è che sul libro non la trovo...
purtroppo non riesco a trovarla.....fammi sapere!
Non hai mica detto che libro usi, però! 
Me lo dici, per favore?
Preferisco che tu trovi la definizione sul tuo libro o sui tuoi appunti, perché non vorrei confonderti. Nella mia (modesta) esperienza, ho visto che questo argomento può essere introdotto con linguaggi apparentemente differenti, e questo può generare confusione. Inoltre non trovo possibile che tu segua un corso o legga un libro di analisi in cui questo fatto non viene trattato.
Me lo dici, per favore? Preferisco che tu trovi la definizione sul tuo libro o sui tuoi appunti, perché non vorrei confonderti. Nella mia (modesta) esperienza, ho visto che questo argomento può essere introdotto con linguaggi apparentemente differenti, e questo può generare confusione. Inoltre non trovo possibile che tu segua un corso o legga un libro di analisi in cui questo fatto non viene trattato.
Il libro è l'adams...ma mi sa che la definizione è in qualche altro volume (che non ho) della stessa collana.
Comunque mi interessa giusto capire il perchè quella che ho trovato è una soluzione in grande...noi l'agomento l'abbiamo trattato molto superficialmente....
Comunque mi interessa giusto capire il perchè quella che ho trovato è una soluzione in grande...noi l'agomento l'abbiamo trattato molto superficialmente....
In genere le diciture "soluzione in grande" o "soluzione in piccolo" sono riferite all'insieme di definizione della soluzione di un problema di Cauchy. Presumo che il tuo testo intenda: se la soluzione è definita nel più grande intervallo in cui l'equazione ha senso, si parla di soluzione in grande; altrimenti si parla di soluzione in piccolo. (Ripeto: presumo. Con le informazioni che mi hai dato non posso essere sicuro) .
Esempio di soluzione "in piccolo": considera il p.d.C. ${(\frac{"d"y}{"d"t}=y^2(t)), (y(0)=1):}$. Osserva che l'equazione $\frac{"d"y}{"d"t}=y^2(t)$ ha senso su tutto $RR$. Quindi, una eventuale soluzione "in grande" dovrebbe essere una funzione definita, continua e derivabile su tutto $RR$. Ma prova a risolvere il problema, troverai che l'unica soluzione è $y(t)=1/(1-t)$, e non è definita su tutto $RR$. Il più grande intervallo di definizione che tu possa prendere è infatti $(-\infty, 1)$.
Adesso puoi ragionare sul tuo problema e capire perché si tratta di una soluzione "in grande". Prima accennavo ad una classe di equazioni che hanno sempre soluzione "in grande": si tratta delle equazioni lineari.
Nota: ti consiglio vivamente di parlarne con il professore, di procurarsi del materiale, e di leggerlo. Anche qualcosa di piccolo va bene, non ti dico di leggere un trattato sulle equazioni differenziali, ma almeno un paragrafo sui teoremi di esistenza e unicità, senza dimostrazione. E' molto importante che sia il tuo professore a consigliarti. Non si può esaurire questo argomento, nemmeno ad un livello totalmente elementare, solo discutendone qui sul forum. Ci vuole un bagaglio minimo di teoria, prima.
Esempio di soluzione "in piccolo": considera il p.d.C. ${(\frac{"d"y}{"d"t}=y^2(t)), (y(0)=1):}$. Osserva che l'equazione $\frac{"d"y}{"d"t}=y^2(t)$ ha senso su tutto $RR$. Quindi, una eventuale soluzione "in grande" dovrebbe essere una funzione definita, continua e derivabile su tutto $RR$. Ma prova a risolvere il problema, troverai che l'unica soluzione è $y(t)=1/(1-t)$, e non è definita su tutto $RR$. Il più grande intervallo di definizione che tu possa prendere è infatti $(-\infty, 1)$.
Adesso puoi ragionare sul tuo problema e capire perché si tratta di una soluzione "in grande". Prima accennavo ad una classe di equazioni che hanno sempre soluzione "in grande": si tratta delle equazioni lineari.
Nota: ti consiglio vivamente di parlarne con il professore, di procurarsi del materiale, e di leggerlo. Anche qualcosa di piccolo va bene, non ti dico di leggere un trattato sulle equazioni differenziali, ma almeno un paragrafo sui teoremi di esistenza e unicità, senza dimostrazione. E' molto importante che sia il tuo professore a consigliarti. Non si può esaurire questo argomento, nemmeno ad un livello totalmente elementare, solo discutendone qui sul forum. Ci vuole un bagaglio minimo di teoria, prima.
ok..grazie 1000 per l'aiuto!
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