Equazione differenziale...soluzione dubbia
ciao mi sono trovato di fronte ad un' equazione particolare
y'=(x+3y)/(x-y)
y(1)=-1
la mia perplessita' è la seguente soprattutto perche' data la brevita' del mio corso di analisi 2 , tutti i teoremi che stanno dietro alle equazioni differenziali non sono stati trattati o al massimo enunciati con fretta...la soluzione generale l'ho cercata ponendo z = y/x , solo che poi a meno che io non abbia commesso errori, il risultato è una frazione con un logaritmo ma al denominatore viene (1+z) ma siccome z =-1 nel punto la soluzione generale non va bene...ne devo dedurre che la soluzione è quella della condizione? e se si posso fare sempre un ragionamento simile?grazie!
y'=(x+3y)/(x-y)
y(1)=-1
la mia perplessita' è la seguente soprattutto perche' data la brevita' del mio corso di analisi 2 , tutti i teoremi che stanno dietro alle equazioni differenziali non sono stati trattati o al massimo enunciati con fretta...la soluzione generale l'ho cercata ponendo z = y/x , solo che poi a meno che io non abbia commesso errori, il risultato è una frazione con un logaritmo ma al denominatore viene (1+z) ma siccome z =-1 nel punto la soluzione generale non va bene...ne devo dedurre che la soluzione è quella della condizione? e se si posso fare sempre un ragionamento simile?grazie!
Risposte
nessun suggerimento?
caro Buddy
perchè, visto che non l'ha vietato il medico, non provi tracciare il diagramma delle isocline, ossia trovi le curve per cui...
$y'=(x+3*y)/(x-y)=k$ (1)
... con $k$ costante?... e poi, già che ci sei, non osservi quale di esse passa per $[1,-1]$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
perchè, visto che non l'ha vietato il medico, non provi tracciare il diagramma delle isocline, ossia trovi le curve per cui...
$y'=(x+3*y)/(x-y)=k$ (1)
... con $k$ costante?... e poi, già che ci sei, non osservi quale di esse passa per $[1,-1]$?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
per quel punto passa la reaat di pendenza -1 e k=-1 cioe' y'=-1 e integrando ottengo y=-x...il tuo metodo è molto utile grazie...il problema è che avrei bisogno di trovare questo risultato con il metodo tradizionale di sostituzione , le isocline e la riconduzione a forme differenziali lineari rese esatte dal fattore intergante mi danno questo risultato ma sono metodi che nel corso non sono statio trattati e preferirei essere piu' pratico con le sostituzioni...poi vorrei sapere perche' devo imporre che la derivate prima sia costante,cioe'dovrei saperlo a priori che y'=k...inoltre come ho chiesto prima ..perche' con z =y/x non ottengo un risultato?grazie per la pazienza!
chiedo scusa ma ho un altro dubbo su un metodo chemi sembra molto rapido ma non so dire se sia sempre applicabile.io ho
y'+y/((x^2)-1)=1+x
y(0)=1
invece di usare la formula generale che richiede svariati passaggi , ho sostituito il punto all'equazione e , trovando y'=2 ho determianto y=2x+c , poi ho risostituito tutto ottenendo un' eqauzione in x e c ma siccome x=0 ho ottenuto che c =1 e la soluzione del problema quindi....ho mi sembra di non aver fatto nulla di sbagliato nel mio ragionamento, ma come ho detto non conosco quasi per niente la teoria e vado un po' ad intuito.quindi se il mjo procedimento non è applicabile per qualche motivo gradirei sapere perche' ...grazie ancora!
y'+y/((x^2)-1)=1+x
y(0)=1
invece di usare la formula generale che richiede svariati passaggi , ho sostituito il punto all'equazione e , trovando y'=2 ho determianto y=2x+c , poi ho risostituito tutto ottenendo un' eqauzione in x e c ma siccome x=0 ho ottenuto che c =1 e la soluzione del problema quindi....ho mi sembra di non aver fatto nulla di sbagliato nel mio ragionamento, ma come ho detto non conosco quasi per niente la teoria e vado un po' ad intuito.quindi se il mjo procedimento non è applicabile per qualche motivo gradirei sapere perche' ...grazie ancora!
allora...suggerimenti..?
"FreshBuddy":
ciao mi sono trovato di fronte ad un' equazione particolare
y'=(x+3y)/(x-y)
y(1)=-1
la mia perplessita' è la seguente soprattutto perche' data la brevita' del mio corso di analisi 2 , tutti i teoremi che stanno dietro alle equazioni differenziali non sono stati trattati o al massimo enunciati con fretta...la soluzione generale l'ho cercata ponendo z = y/x , solo che poi a meno che io non abbia commesso errori, il risultato è una frazione con un logaritmo ma al denominatore viene (1+z) ma siccome z =-1 nel punto la soluzione generale non va bene...ne devo dedurre che la soluzione è quella della condizione? e se si posso fare sempre un ragionamento simile?grazie!
z=-1 dovrebbe essere una soluzione di equilibrio
scusa potresti spiegarmi...cioe' se io ottengo
log(1/1+z) ad esempio (ma la sol. che ottengo non è proprio questa),quando devo imporre la condizione x=1...z=-1...è impossibile!come deduco la soluzione?
log(1/1+z) ad esempio (ma la sol. che ottengo non è proprio questa),quando devo imporre la condizione x=1...z=-1...è impossibile!come deduco la soluzione?
caro Buddy
torniamo un attimo alla prima equazione da te proposta alla nostra attenzione…
$y’=(x+3*y)/(x-y)$ , $y(1)=-1$ (1)
Il procedimento di soluzione ‘standard’ prevede la sostituzione $z=y/x$, per cui $y’=x*z’+z$. Sostituendo nella (1) si ha…
$x*z’= ((1+z)^2)/(1-z)$ , $z(1)=-1$ (2)
E qui arriviamo al punto. Egualiando gli inversi del primo e secondo membro della (2) si ottinene…
$dx/x= (1-z)/((1+z)^2)*dz$ (3)
... da cui poi si procede. Il guaio è che il passaggio dalla (2) alla (3) si può fare solo se il secondo membro non si annulla in $z=-1$, cosa che invece si verifica a causa del termine $(1+z)^2$. Di fatto quindi tu hai escluso proprio la soluzione passante per il punto $[1,-1]$ e quindi non soprende il fatto che poi non riuscirai più a trovarla. La soluzione di un’equazione differenziale non ricavabile dalla soluzione generale agendo sulla costante arbitraria è chiamata integrale singolare. Nell’esempio da te proposto ci si trova probabilmente in un caso del genere. Quello che soprende però è il fatto che [stando a quello che hai scritto…] nel tuo corso le equazioni differenziali sono trattate in modo assai approssimativo e incompleto e poi all’esame uno rischia di trovarsi problemi come questo, contenenti delle ‘trappole’ per evitare le quali è richiesta una conoscenza non da poco. Se le cose stanno in questo modo siamo in presenza di uno dei tanti ‘fatti allucinanti’ che avvengono nelle nostre università…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
torniamo un attimo alla prima equazione da te proposta alla nostra attenzione…
$y’=(x+3*y)/(x-y)$ , $y(1)=-1$ (1)
Il procedimento di soluzione ‘standard’ prevede la sostituzione $z=y/x$, per cui $y’=x*z’+z$. Sostituendo nella (1) si ha…
$x*z’= ((1+z)^2)/(1-z)$ , $z(1)=-1$ (2)
E qui arriviamo al punto. Egualiando gli inversi del primo e secondo membro della (2) si ottinene…
$dx/x= (1-z)/((1+z)^2)*dz$ (3)
... da cui poi si procede. Il guaio è che il passaggio dalla (2) alla (3) si può fare solo se il secondo membro non si annulla in $z=-1$, cosa che invece si verifica a causa del termine $(1+z)^2$. Di fatto quindi tu hai escluso proprio la soluzione passante per il punto $[1,-1]$ e quindi non soprende il fatto che poi non riuscirai più a trovarla. La soluzione di un’equazione differenziale non ricavabile dalla soluzione generale agendo sulla costante arbitraria è chiamata integrale singolare. Nell’esempio da te proposto ci si trova probabilmente in un caso del genere. Quello che soprende però è il fatto che [stando a quello che hai scritto…] nel tuo corso le equazioni differenziali sono trattate in modo assai approssimativo e incompleto e poi all’esame uno rischia di trovarsi problemi come questo, contenenti delle ‘trappole’ per evitare le quali è richiesta una conoscenza non da poco. Se le cose stanno in questo modo siamo in presenza di uno dei tanti ‘fatti allucinanti’ che avvengono nelle nostre università…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
e non c'è un modo canonico per trovare la soluzione singolare?...si sono daccordo con il discorso sull' universita'...nel mio caso frequento la facolta' di ingegneria meccanica e credo che basti dire che analisi due vale tre crediti che sono 24 ore...e ho gia'fatto tutto il programma tranne le serie..purtroppo la situazione è questa e unito al fatto che il mio prof di matematica è particolare le difficolta' non sono poche perche' le spiegazioni sono molto particolari e gli esercizi proprsti negli esami all'esame lo sono altrettanto...
"FreshBuddy":
e non c'è un modo canonico per trovare la soluzione singolare?...si sono daccordo con il discorso sull' universita'...nel mio caso frequento la facolta' di ingegneria meccanica e credo che basti dire che analisi due vale tre crediti che sono 24 ore...e ho gia'fatto tutto il programma tranne le serie..purtroppo la situazione è questa e unito al fatto che il mio prof di matematica è particolare le difficolta' non sono poche perche' le spiegazioni sono molto particolari e gli esercizi proprsti
all'esame lo sono altrettanto...
Il metodo generale per trovare l'eventuale integrale singolare e' questo:
Sia $F(x,y,y')=0$ l'equazione differenziale in questione.
La si derivi rispetto ad y' ottenendo:
(a) $F_(y')(x,y,y')=0$
Si elimini y' dal sistema:
${(F(x,y,y')=0),(F_(y')(x,y,y')=0):}$ e si otterra' cosi l'integrale singolare richiesto (se esiste !!).
Nel caso nostro non si ottiene nulla perche' la (a) si riduce a 1=0 ,ovviamente impossibile.
Personalmente ritengo che ,poiche' l'integrale generale (se non ho sbagliato) e':
$x+y=C*e^(-(2x)/(x+y))$ ,l'unica soluzione soddisfacente la condizione imposta e'
quella che si ha per C=0 ovvero x+y=0
Prendi con le molle questo risultato ma il fatto e' che l'equazione assegnata,secondo me, e' proprio un'equazione del c****o...
karl
Sia $F(x,y,y')=0$ l'equazione differenziale in questione.
La si derivi rispetto ad y' ottenendo:
(a) $F_(y')(x,y,y')=0$
Si elimini y' dal sistema:
${(F(x,y,y')=0),(F_(y')(x,y,y')=0):}$ e si otterra' cosi l'integrale singolare richiesto (se esiste !!).
Nel caso nostro non si ottiene nulla perche' la (a) si riduce a 1=0 ,ovviamente impossibile.
Personalmente ritengo che ,poiche' l'integrale generale (se non ho sbagliato) e':
$x+y=C*e^(-(2x)/(x+y))$ ,l'unica soluzione soddisfacente la condizione imposta e'
quella che si ha per C=0 ovvero x+y=0
Prendi con le molle questo risultato ma il fatto e' che l'equazione assegnata,secondo me, e' proprio un'equazione del c****o...
karl
Quello che dice Karl è esatto, e cioè che essendo l'integrale generale dell'equazione data...
$x+y= c*e^((-2x)/(x+y))$ (1)
... la soluzione passante per il punto $[1,-1]$ è quella corrispondente a $c=0$. Pertanto $y=-x$ non è integrale singolare dell'equazione assegnata. Quanto a me devo smetterla di imbarcarmi in certe imprese alle prime ore del mattino e cercare un altro rimedio all'insonnia
...
Resta però il fatto che si tratta di una equazione alquanto 'particolare' e pertanto non dovrebbe essere data come esercizio o peggio ancora come prova di esame...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$x+y= c*e^((-2x)/(x+y))$ (1)
... la soluzione passante per il punto $[1,-1]$ è quella corrispondente a $c=0$. Pertanto $y=-x$ non è integrale singolare dell'equazione assegnata. Quanto a me devo smetterla di imbarcarmi in certe imprese alle prime ore del mattino e cercare un altro rimedio all'insonnia
... Resta però il fatto che si tratta di una equazione alquanto 'particolare' e pertanto non dovrebbe essere data come esercizio o peggio ancora come prova di esame...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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