Equazione differenziale..help :(
CIao ragazzi, ho una quesito da porvi... come si svolge questa equazione differenziale? magari spiegandomelo passaggio per passaggio
y'/x = e^y
grazie per la risposta
y'/x = e^y
grazie per la risposta
Risposte
L'equazione è del prim'ordine a variabili separabili; esiste un metodo risolutivo "standard" (efficiente, ma formalmente un po' scorretto) che trovi illustrato su qualunque libro di Analisi o anche su wiki.
uhm, grazie per la pronta risposta ergo...
isolo la y, mi viene e^y*y'=x quest'ultimo è un integrale noto ok e a sinistra? risolvo con sostituzione?
isolo la y, mi viene e^y*y'=x quest'ultimo è un integrale noto ok e a sinistra? risolvo con sostituzione?
Esatto! 
C'è solo un errore di segno all'esponente, il resto è ok.
thanks 
"Gugo82":
L'equazione è del prim'ordine a variabili separabili; esiste un metodo risolutivo "standard" (efficiente, ma formalmente un po' scorretto) che trovi illustrato su qualunque libro di Analisi o anche su wiki.
Veramente quello che si trova nella pag. di wiki linkata sopra, per lo meno a partire dalla Versione delle 08:40, 6 set 2008, non è il metodo "standard" (che un sostenitore di una teoria bislacca (cit.) chiama in altro modo), ma è un metodo corretto. Sia formalmente che agli effetti "pratici" dei calcoli.
in soldoni come si svolge?
y'/x = e^y
La soluzione è una funzione $y(x)$ tale che $(y'(x))/x = e^{y(x)}$ per ogni $x$ in un opportuno intervallo (non contenente lo zero, per essere più tranquilli)
Da qui, dividendo per $e^{y(x)}$ (che, bontà sua, è sempre diverso da zero) e moltiplicando per $x$, si ha:
$(y'(x))/e^{y(x)} = x$
Integrando entrambi i membri:
$\int (y'(x))/e^{y(x)} \ dx = (x^2)/2 +c$
Cioè:
$\int y'(x) e^{-y(x)} \ dx= (x^2)/2 +c$
Una primitiva a primo membro è ovviamente $-e^{-y(x)}$ e quindi:
$-e^{-y(x)} = (x^2)/2 + c$
Poi inverti e ti trovi le soluzioni.
[size=75]NB: aggiunti i "dx", per rispetto delle notazioni tradizionali[/size]
[size=75]NB: e anche 1/2, per rispetto della matematica[/size]
La soluzione è una funzione $y(x)$ tale che $(y'(x))/x = e^{y(x)}$ per ogni $x$ in un opportuno intervallo (non contenente lo zero, per essere più tranquilli)
Da qui, dividendo per $e^{y(x)}$ (che, bontà sua, è sempre diverso da zero) e moltiplicando per $x$, si ha:
$(y'(x))/e^{y(x)} = x$
Integrando entrambi i membri:
$\int (y'(x))/e^{y(x)} \ dx = (x^2)/2 +c$
Cioè:
$\int y'(x) e^{-y(x)} \ dx= (x^2)/2 +c$
Una primitiva a primo membro è ovviamente $-e^{-y(x)}$ e quindi:
$-e^{-y(x)} = (x^2)/2 + c$
Poi inverti e ti trovi le soluzioni.
[size=75]NB: aggiunti i "dx", per rispetto delle notazioni tradizionali[/size]
[size=75]NB: e anche 1/2, per rispetto della matematica[/size]
"Fioravante Patrone":
$\int (y'(x))/e^{y(x)} = x^2 +c$
[...]
$\int y'(x) e^{-y(x)} = x^2 +c$
Noto che quel $dx$ proprio non lo sopporti...
"Tipper":
[quote="Fioravante Patrone"]$\int (y'(x))/e^{y(x)} = x^2 +c$
[...]
$\int y'(x) e^{-y(x)} = x^2 +c$
Noto che quel $dx$ proprio non lo sopporti...
[/quote]Zut!
E' stata una dimenticanza, giuro. Magari un lapsus
Visto che non voglio dare scandalo, né turbare giovini menti, modifico.
Mi ero anche sbagliato a calcolare l'integrale di $x$
Ero rimasto talmente turbato dalla mancanza del $dx$ che manco mi ero accorto della primitiva di $x$...
Grande, e ti ringrazio molto mi sei stato di grande aiuto
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