Equazione differenzialecon parametro

[angelad97]

Individuare l’integrale generale dell’equazione differenziale lineare non omogenea: $y′′ −4y′ −(α−5)y = 4e^(3x)$ al variare del parametro $α ∈ R$

non so quando discutere il parametro..
io ho cercato la soluzione particolare dell'omogenea associata che sarebbe $C1e^(2-sqrt(α-1))+C2e^(2+sqrt(α-1))$ e poi la soluzione particolare della non omogenea con il metodo della somiglianza che sarebbe $(4e^(3t))/(2-α)$ a questo punto sommo le due soluzioni e ho l'integrale generale..ma per quanto riguarda lo studio di $α$?

[Anacleto13]

La soluzione che hai scritto te è giusta..

Se ricordi bene le soluzioni variano al variare del delta, quindi dovresti teorizzare che il parametro sia positivo, negativo o uguale a 0.

[pilloeffe]

Ciao angelad97,

Il parametro dovresti discuterlo nel momento in cui vai a risolvere l'equazione omogenea associata:

$y′′ −4y′ −(\alpha −5)y = 0$

Ipotizzando una soluzione del tipo $e^{\lambda x}$, ottieni l'equazione caratteristica seguente:

$\lambda^2 - 4\lambda - (\alpha - 5) = 0$

il cui discriminante $\Delta$ dipende da $\alpha$: $frac{\Delta(\alpha)}{4} = \alpha - 1$. Le soluzioni dunque sono le seguenti:

$\lambda_{1, 2} = 2 \pm sqrt{\alpha - 1}$

Discussione:
1) se $\alpha > 1$ si hanno due soluzioni reali e distinte $\lambda_{1} = 2 + sqrt{\alpha - 1}$ e $\lambda_{2} = 2 - sqrt{\alpha - 1}$;
2) se $\alpha = 1$ si hanno due soluzioni reali e coincidenti $\lambda_{1} = \lambda_{2} = 2$;
3) se $\alpha < 1$ si hanno due soluzioni complesse coniugate $\lambda_{1} = 2 + i sqrt{1 - \alpha}$ e $\lambda_{2} = 2 - i sqrt{1 - \alpha}$.

La soluzione che hai scritto corrisponde al caso 1), con $\alpha \ne 2$: ti restano da fare gli altri due casi...

[angelad97]

grazie!!!