Equazione differenziale1
salve a tutti, stavo rivedendo alcuni esercizi fatti precedentemente per vedere se ho capito bene il procedimento di quelli che non ho saputo fare e in questo esercizio trovo qualche difficoltà a completarlo.
l esercizio mi chiede di risolvere il seguente problema di Cauchy
$\{(y'(x)=(x+y'(x))^2-x-y''(x)-1), (y(o)=0) , (y'(0)=2):}$
io dopo alcuni tentavi ho trovato la seguente soluzione:
z=x+y'(x)
z'=y"(x)+1
z=$z^2$-z'
è un equazione differenziale a variabili separabili:
$(z')/(z^2-z)$=1
con soluzione dei relativi integrali
ln$(z-1)/z$=x
$(z-1)/z$=$e^x$
ora non riesco ad andare avanti anche perchè la spiegazione che da il libro è
$|(z(x)-1)/(z(x))|$=$alpha$ $e^(x-x_0)$
potete spiegarmi il rocedimento perfavore?
vi do anche il link dell eserczio:
http://poincare.unile.it/fabio/didattic ... x_did.html
l esercizio è il numero 5.37
grazie della vostra attenzione.
l esercizio mi chiede di risolvere il seguente problema di Cauchy
$\{(y'(x)=(x+y'(x))^2-x-y''(x)-1), (y(o)=0) , (y'(0)=2):}$
io dopo alcuni tentavi ho trovato la seguente soluzione:
z=x+y'(x)
z'=y"(x)+1
z=$z^2$-z'
è un equazione differenziale a variabili separabili:
$(z')/(z^2-z)$=1
con soluzione dei relativi integrali
ln$(z-1)/z$=x
$(z-1)/z$=$e^x$
ora non riesco ad andare avanti anche perchè la spiegazione che da il libro è
$|(z(x)-1)/(z(x))|$=$alpha$ $e^(x-x_0)$
potete spiegarmi il rocedimento perfavore?
vi do anche il link dell eserczio:
http://poincare.unile.it/fabio/didattic ... x_did.html
l esercizio è il numero 5.37
grazie della vostra attenzione.
Risposte
Ti ho aiutato qui (click!). Hai palesemente violato il punto 3.1 del regolamento e forse anche il punto 1.4. -_-
Lascio il campo alla moderazione\amministrazione!
Nota bene: nel codice sorgente originale di questo post l'ordine della equazione differenziale è sempre 2!
Lascio il campo alla moderazione\amministrazione!
Nota bene: nel codice sorgente originale di questo post l'ordine della equazione differenziale è sempre 2!
in effetti tu mi hai aiutato, ma nel ricavare il valore di $\alpha$
qui invece ho mostrato la soluzione che ho trovato io con il mio ragionamento e come vedi non esiste $alpha$ come da l esercizio. Il mio problema non sta più nel trovare il valore di $\alpha$ ma proprio nel trovare $\alpha$
per il punto 1.4 a parere mio non credo neanche di averlo violato, perchè ripeto ancora una volta io ho scritto il mio procedimento.
comunque se i moderatori riterranno di cacciarmi dal forum non farò obbiezioni pero pretendo una spiegazione e non la lettura degli articoli del regolamento.
grazie.
qui invece ho mostrato la soluzione che ho trovato io con il mio ragionamento e come vedi non esiste $alpha$ come da l esercizio. Il mio problema non sta più nel trovare il valore di $\alpha$ ma proprio nel trovare $\alpha$
per il punto 1.4 a parere mio non credo neanche di averlo violato, perchè ripeto ancora una volta io ho scritto il mio procedimento.
comunque se i moderatori riterranno di cacciarmi dal forum non farò obbiezioni pero pretendo una spiegazione e non la lettura degli articoli del regolamento.
grazie.
Potevi continuare lì la discussione. -_- Un ban infinito mi sembra un'esagerazione! 
Continuando col problema, domandati [tex]$z(0)=?$[/tex] sicché ottieni un problema di Cauchy nell'incognita [tex]$z$[/tex]!
Continuando col problema, domandati [tex]$z(0)=?$[/tex] sicché ottieni un problema di Cauchy nell'incognita [tex]$z$[/tex]!
"daniel86":Nessun moderatore ha intenzione di prendere provvedimenti contro di te. j18eos ha solo espresso la sua opinione, che è peraltro una semplice regola di buon senso: se c'è già una discussione aperta su un argomento, perché aprirne un'altra sullo stesso togliendo così spazio agli altri utenti? Questo è tutto, non c'è bisogno di vagheggiare ban infiniti e castighi simili!
comunque se i moderatori riterranno di cacciarmi dal forum non farò obbiezioni pero pretendo una spiegazione e non la lettura degli articoli del regolamento.
@daniel86: Semplicemente integri indefinitamente dimeticandoti tutte le costanti ed i valori assoluti (basta confrontare il tuo risultato con quello del libro)... Fintanto che procedi così, è difficile che ti potranno mai tornare i conti.
Da:
[tex]$\frac{z^\prime}{z(z-1)}=1$[/tex]
integrando indefinitamente si trova:
[tex]$\ln \left| \frac{z-1}{z} \right| =x+c$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{z-1}{z} =k\ e^x$[/tex],
da cui ricavare [tex]$z(x)$[/tex] e poi ricavare [tex]$y(x)$[/tex] mediante un'integrazione indefinita di [tex]$z(x)-x$[/tex].
Tuttavia, invece di procedere così come urang-utang©, potresti usare gli integrali definiti: invero, ricordando che la condizione iniziale [tex]$y^\prime (0)=2$[/tex] implica:
[tex]$z(0)=x+y^\prime(x)\Big|_{x=0}=2$[/tex],
da:
[tex]$\frac{z^\prime}{z(z-1)}=1$[/tex]
integrando in [tex]$[0,x]$[/tex] si trova:
[tex]$\int_0^x \frac{z^\prime(t)}{z(t)[z(t)-1]}\ \text{d} t =\int_0^x\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \Big[ \ln \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right|\Big]_0^x =x$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right| - \ln \frac{1}{2} =x$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln 2 \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right| =x$[/tex].
Dal teorema di permanenza del segno e dalla continuità di [tex]$y^\prime$[/tex] discende che [tex]$z(x)=x+y^\prime (x)\approx 2 >0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], quindi [tex]$\tfrac{z(x)-1}{z(x)} >0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex]: ne viene che puoi eliminare intorno a [tex]$0$[/tex] il valore assoluto dall'argomento del logaritmo e trovare:
[tex]$\frac{z(x)-1}{z(x)} =\frac{1}{2}\ e^x$[/tex];
fatto ciò, risolvi rispetto a [tex]$z(x)$[/tex], poi ricorda che [tex]$z(x)=x+y^\prime(x)$[/tex], cosicché un'ulteriore integrazione su [tex]$[0,x]$[/tex] ti porta a concludere che:
[tex]$y(x)-y(0)=\int_0^x y^\prime (t)\ \text{d} t =\int_0^x [z(t)-t]\ \text{d} t =\int_0^x z(t)\ \text{d} t -\frac{1}{2}\ x^2$[/tex],
ossia ricordando che [tex]$y(0)=0$[/tex]:
[tex]$y(x) =-\frac{1}{2}\ x^2 +\int_0^x z(t)\ \text{d} t$[/tex].
Da:
[tex]$\frac{z^\prime}{z(z-1)}=1$[/tex]
integrando indefinitamente si trova:
[tex]$\ln \left| \frac{z-1}{z} \right| =x+c$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{z-1}{z} =k\ e^x$[/tex],
da cui ricavare [tex]$z(x)$[/tex] e poi ricavare [tex]$y(x)$[/tex] mediante un'integrazione indefinita di [tex]$z(x)-x$[/tex].
Tuttavia, invece di procedere così come urang-utang©, potresti usare gli integrali definiti: invero, ricordando che la condizione iniziale [tex]$y^\prime (0)=2$[/tex] implica:
[tex]$z(0)=x+y^\prime(x)\Big|_{x=0}=2$[/tex],
da:
[tex]$\frac{z^\prime}{z(z-1)}=1$[/tex]
integrando in [tex]$[0,x]$[/tex] si trova:
[tex]$\int_0^x \frac{z^\prime(t)}{z(t)[z(t)-1]}\ \text{d} t =\int_0^x\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \Big[ \ln \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right|\Big]_0^x =x$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right| - \ln \frac{1}{2} =x$[/tex]
[tex]$\Rightarrow\ \ln 2 \left| \frac{z(t)-1}{z(t)} \right| =x$[/tex].
Dal teorema di permanenza del segno e dalla continuità di [tex]$y^\prime$[/tex] discende che [tex]$z(x)=x+y^\prime (x)\approx 2 >0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], quindi [tex]$\tfrac{z(x)-1}{z(x)} >0$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex]: ne viene che puoi eliminare intorno a [tex]$0$[/tex] il valore assoluto dall'argomento del logaritmo e trovare:
[tex]$\frac{z(x)-1}{z(x)} =\frac{1}{2}\ e^x$[/tex];
fatto ciò, risolvi rispetto a [tex]$z(x)$[/tex], poi ricorda che [tex]$z(x)=x+y^\prime(x)$[/tex], cosicché un'ulteriore integrazione su [tex]$[0,x]$[/tex] ti porta a concludere che:
[tex]$y(x)-y(0)=\int_0^x y^\prime (t)\ \text{d} t =\int_0^x [z(t)-t]\ \text{d} t =\int_0^x z(t)\ \text{d} t -\frac{1}{2}\ x^2$[/tex],
ossia ricordando che [tex]$y(0)=0$[/tex]:
[tex]$y(x) =-\frac{1}{2}\ x^2 +\int_0^x z(t)\ \text{d} t$[/tex].
a grazie a tutti
Prego, di nulla! 
E scusa per lo spavento.
E scusa per lo spavento.
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