Equazione Differenziale $ y''-2y'+y=|x+1| $

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Ciao a tutti, scusate la ripetitività ma ho un'altra eq differenziale da proporvi
in realta é un Problema di Cauchy... vabbe!
$ { ( y''-2y'+y=|x+1| ),( y'(-1)=0 ),( y(-1)=0 ):} $

Io ho fatto così, ovviamente studiata la associata omogenea e poi separato due casi:
a) x+1>0 con soluzione: $ y_a= c_1e^(-x)+c_2xe^(-x) + x -1 $
b) x+1<0 con soluzione: $ y_b= c_1e^(-x)+c_2xe^(-x) - x +1 $

Fin qui credo e spero di aver fatto bene, per quel che riguarda il problema di Cauchy, come é piu corretto procedere?
io ho notato che prendendo la soluzione a) mi viene $ c_1=c_2= 1/e $ mentre prendendo la soluzione b) mi viene $ c_1=c_2= -1/e $
Va bene prendere indistintamente una delle soluzioni oppure dovrei andare a considerare l'integrale dell'omogenea associata?

Grazie mille!

[Studente Anonimo]

Veramente, l'integrale generale dell'omogenea associata risulta essere:

$[y(x)=(C_1x+C_2)e^x]$

Inoltre:

$[x lt= -1] rarr [y(x)=(Ax+B)e^x-x-3]$

$[x gt= -1] rarr [y(x)=(Cx+D)e^x+x+3]$

Infine, per determinare le $4$ costanti devi imporre le $2$ condizioni iniziali su entrambi i tratti.

[hearnshow]

Si é vero c'era un errore di trascrizione nell'integrale generale che poi col copia-incolla si e' portato in giro, e un errore mio nelle soluzioni particolari: in pratica confondevo il fatto di avere 2 soluzioni coincidenti con il fatto di avere una soluzione coincidente con il coefficiente $ e^(lambdax) $ che non é 1 ma é 0, e quindi cercavo una soluzione del tipo x(ax+b) invece che (ax+b), comunque corretti gli errori e proceduto i risultati sono questi:
per $ x>=-1 $ l'integrale particolare mi viene $ y= e^(x+1)(x-1) + x+3 $
per $ x<=-1 $ l'integrale particolare mi viene $ y= e^(x+1)(x-1) - x-3 $

Sperando di non aver fatto altri errori... grazie mille!!!