Equazione differenziale y'' + 2y' + 3y = 3e^(-x) cos (√2x)
Ciao a tutti 
Sono bloccato su una "semplice" equazione differenziale:
\(\displaystyle y'' + 2y' + 3y = 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
Ne devo trovare una soluzione particolare \(\displaystyle y_p \) ricorrendo ai numeri complessi.
Sapendo che
\(\displaystyle 3e^{x \left (-1+\sqrt{2}i \right )} = 3e^{-x} \left ( \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) + i \sin \left ( \sqrt{2}x \right ) \right ) \)
e imponendo per praticità
\(\displaystyle \lambda = -1+\sqrt{2}i \)
ho provato a impiegare
\(\displaystyle \tilde{y}_p = c x e^{\lambda x} \)
\(\displaystyle \tilde{y}'_p = ce^{\lambda x} \left ( \lambda x + 1 \right ) \)
\(\displaystyle \tilde{y}''_p = ce^{\lambda x} \left ( \lambda^2 x + 2 \lambda \right ) \)
(per \(\displaystyle \tilde{y}_{p0} = c e^{\lambda x} \) non ho trovato soluzioni).
Andando a sostituire nell'equazione:
\(\displaystyle y'' + 2y' + 3y = \)
\(\displaystyle = ce^{\lambda x} \left [ \lambda^2 x +2 \lambda + 2 \left ( \lambda x + 1 \right ) + 3x \right ]= 3e^{\lambda x} \)
\(\displaystyle \Rightarrow c \left ( \lambda^2 x +2 \lambda + 2 \lambda x + 2 + 3x \right ) = 3 \)
\(\displaystyle c \left [ x \left ( \lambda^2 +2 \lambda + 3 \right ) + 2 \lambda + 2 \right ] = 3 \)
e sostituendo il valore di \(\displaystyle \lambda \):
\(\displaystyle c \left [ x \left ( -1-2 \sqrt{2}i -2 +2 \sqrt{2}i + 3 \right ) - 2 +2 \sqrt{2}i + 2 \right ] = 3 \)
\(\displaystyle 2 \sqrt{2}i \cdot c = 3 \)
\(\displaystyle c = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}i \)
la soluzione complessa mi viene:
\(\displaystyle y_{p\mathbb{C}} = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}i x e^{-x} \left ( \cos \sqrt{2}x + i \sin \sqrt{2}x \right ) \)
La soluzione che mi serve è la parte reale della complessa:
\(\displaystyle y_p = y_{p\mathbb{R}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x e^{-x} \sin \sqrt{2}x \)
ma provando a verificare se è giusta sostituendola nell'equazione originale ottengo:
\(\displaystyle y_p'' + 2y_p' + 3y_p \ne 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
Dove sto sbagliando?
Grazie
Sono bloccato su una "semplice" equazione differenziale:
\(\displaystyle y'' + 2y' + 3y = 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
Ne devo trovare una soluzione particolare \(\displaystyle y_p \) ricorrendo ai numeri complessi.
Sapendo che
\(\displaystyle 3e^{x \left (-1+\sqrt{2}i \right )} = 3e^{-x} \left ( \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) + i \sin \left ( \sqrt{2}x \right ) \right ) \)
e imponendo per praticità
\(\displaystyle \lambda = -1+\sqrt{2}i \)
ho provato a impiegare
\(\displaystyle \tilde{y}_p = c x e^{\lambda x} \)
\(\displaystyle \tilde{y}'_p = ce^{\lambda x} \left ( \lambda x + 1 \right ) \)
\(\displaystyle \tilde{y}''_p = ce^{\lambda x} \left ( \lambda^2 x + 2 \lambda \right ) \)
(per \(\displaystyle \tilde{y}_{p0} = c e^{\lambda x} \) non ho trovato soluzioni).
Andando a sostituire nell'equazione:
\(\displaystyle y'' + 2y' + 3y = \)
\(\displaystyle = ce^{\lambda x} \left [ \lambda^2 x +2 \lambda + 2 \left ( \lambda x + 1 \right ) + 3x \right ]= 3e^{\lambda x} \)
\(\displaystyle \Rightarrow c \left ( \lambda^2 x +2 \lambda + 2 \lambda x + 2 + 3x \right ) = 3 \)
\(\displaystyle c \left [ x \left ( \lambda^2 +2 \lambda + 3 \right ) + 2 \lambda + 2 \right ] = 3 \)
e sostituendo il valore di \(\displaystyle \lambda \):
\(\displaystyle c \left [ x \left ( -1-2 \sqrt{2}i -2 +2 \sqrt{2}i + 3 \right ) - 2 +2 \sqrt{2}i + 2 \right ] = 3 \)
\(\displaystyle 2 \sqrt{2}i \cdot c = 3 \)
\(\displaystyle c = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}i \)
la soluzione complessa mi viene:
\(\displaystyle y_{p\mathbb{C}} = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}i x e^{-x} \left ( \cos \sqrt{2}x + i \sin \sqrt{2}x \right ) \)
La soluzione che mi serve è la parte reale della complessa:
\(\displaystyle y_p = y_{p\mathbb{R}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x e^{-x} \sin \sqrt{2}x \)
ma provando a verificare se è giusta sostituendola nell'equazione originale ottengo:
\(\displaystyle y_p'' + 2y_p' + 3y_p \ne 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
Dove sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Risolto
Il procedimento è giusto e il risultato anche, commettevo io un errore quando andavo a sostituire (mettevo un \(\displaystyle c \) positivo anziché negativo nei miei conti).
Quindi niente, la soluzione è appunto
\(\displaystyle y_p = y_{p\mathbb{R}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x e^{-x} \sin \sqrt{2}x \)
\(\displaystyle \Rightarrow y_p'' + 2y_p' + 3y_p = 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
Il procedimento è giusto e il risultato anche, commettevo io un errore quando andavo a sostituire (mettevo un \(\displaystyle c \) positivo anziché negativo nei miei conti).
Quindi niente, la soluzione è appunto
\(\displaystyle y_p = y_{p\mathbb{R}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} x e^{-x} \sin \sqrt{2}x \)
\(\displaystyle \Rightarrow y_p'' + 2y_p' + 3y_p = 3e^{-x} \cos \left ( \sqrt{2}x \right ) \)
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