Equazione differenziale variabili separabili

[lucia131]

Salve a tutti! Vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo problema di Cauchy:
\[ \displaystyle y'(x)=\frac{1}{cos(y(x))} \]
con condizione iniziale\[ \displaystyle y(0)=\pi.\]
A me risulta \( y(x)=-\arcsin (x)+\pi\), ma sugli appunti la soluzione riportata e`\(y(x)=\arcsin (x)+\pi\). Qualcuno mi saprebbe spiegare la ragione della differenza di segno? Grazie!

[Gi81]

Tieni presente che $int cos(y) dy = sin(y) +c$

[gugo82]

"lucia13":Salve a tutti! Vi chiedo aiuto per la risoluzione di questo problema di Cauchy:
\[ \displaystyle y'(x)=\frac{1}{cos(y(x))} \]
con condizione iniziale\[ \displaystyle y(0)=\pi.\]
A me risulta \( y(x)=-\arcsin (x)+\pi\), ma sugli appunti la soluzione riportata e`\(y(x)=\arcsin (x)+\pi\). Qualcuno mi saprebbe spiegare la ragione della differenza di segno? Grazie!

Hanno ragione i tuoi calcoli.

Le soluzioni della ODE assumono valori in intervalli in cui il coseno non si annulla, ergo la soluzione del PdC \(y(x)\) è definita in un intorno di \(0\) ed in tale intorno essa assume valori in un intervallo del tipo \(]\pi/2 +k\pi, 3\pi/2 +k\pi [\) (con \(k\in \mathbb{Z}\)); inoltre le soluzioni sono di classe \(C^\infty\) intorno a \(0\) e sono strettamente crescenti se prendono valori in \(]-\pi/2+2k\pi ,\pi/2 +2k\pi[\) o strettamente decrescenti se prendono valori in \(]\pi/2 +2k\pi ,3\pi/2 +2k\pi[\).

Dato che si vuole \(y(0)=\pi\) e che \(\pi \in ]\pi/2 ,3\pi /2[\), la soluzione massimale \(y(x)\) del PdC ha da assumere valori in \(]\pi/2, 3\pi/2[\) e, necessariamente, deve essere strettamente decrescente.

Stabilito ciò, moltiplicando m.a.m. la ODE per \(\cos y(x)\) ed integrando m.a.m. con punto iniziale \(0\) si trova:
\[
\int_0^x y^\prime (t)\ \cos y(t)\ \text{d} t = \int_0^x \text{d} t\; ;
\]
al primo membro si può fare il cambiamento di variabile \(u=y(t)\), di modo che la precedente diviene:
\[
\int_\pi^{y(x)} \cos u\ \text{d} u = x
\]
da cui:
\[
\sin y(x) =x\; .
\]
Dalla precedente segue che \(x\in ]-1,1[\) e che:
\[
y(x) = \pi -\arcsin x
\]
in quanto \(y(x)\in ]\pi/2 ,3\pi/2[\) e \(\pi -\arcsin z\) è l'inversa di \(\sin y\) per \(y\in ]\pi/2 ,3\pi /2[\).

[lucia131]

Grazie mille!!!