Equazione differenziale, stabilità
Ho la seguente equazione $ y'' + y' +y = sin(2t) $
Facendo i calcoli trovo il seguente integrale generale:
$ y= A e^(-t/2) cos((sqrt(3)/2)t) + B e^(-t/2) sin((sqrt(3)/2)t) - 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$
A questo punto mi si chiede se vi sono soluzioni periodiche e la natura di queste soluzioni.
La soluzione $- 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$ è senz' altro periodica. Quindi Ho soluzioni periodiche.
Ottenute ponendo a zero A e B. Ma a questo punto come faccio a studiare la stabilità di questa soluzione?
Fanno sempre fede le radici con le quali costruisco l' integrale generale?
($- 1/2 +- sqrt(3)/2$) e quindi essendo la perte reale negativa, ho stabilità asintotica.
Oppure devo studiarmi la soluzione $- 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$ in modo autonomo?
Ma a questo punto non so come fare.
Qualcuno puo aiutarmi?
Ps: scusate per le continue e notevoli modifiche al post
Facendo i calcoli trovo il seguente integrale generale:
$ y= A e^(-t/2) cos((sqrt(3)/2)t) + B e^(-t/2) sin((sqrt(3)/2)t) - 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$
A questo punto mi si chiede se vi sono soluzioni periodiche e la natura di queste soluzioni.
La soluzione $- 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$ è senz' altro periodica. Quindi Ho soluzioni periodiche.
Ottenute ponendo a zero A e B. Ma a questo punto come faccio a studiare la stabilità di questa soluzione?
Fanno sempre fede le radici con le quali costruisco l' integrale generale?
($- 1/2 +- sqrt(3)/2$) e quindi essendo la perte reale negativa, ho stabilità asintotica.
Oppure devo studiarmi la soluzione $- 3/13 sin(2t) - 2/13 cos (2t)$ in modo autonomo?
Ma a questo punto non so come fare.
Qualcuno puo aiutarmi?
Ps: scusate per le continue e notevoli modifiche al post
Risposte
bella domanda
La parte dell'integrale generale dove compaiono $A$ e $B$ decade esponenzialmente (quindi va a $0$).
e quindi? la soluzione periodica è stabile o no?
Io direi di sì.
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