Equazione differenziale semplice, cosa sbaglio?

[ronti1]

Ciao!

Dovrei risolvere la seguente equazione differenziale:

$y'=1-y^2$

Vedo subito a occhio che ho due soluzioni costanti, che sono

$y_1(x)=1$

$y_2(x)=-1$

Per studiare le soluzioni non costanti, noto che l'equazione e a variabili separabili e scrivo:

$(y')/(1-y^2) =1 rArr int (-2y')/(1-y^2) = int -2$

$ rArr ln(1-y^2)=-2x+c$

Se $y in (-1,1)$ allora

$1-y^2=e^(-2x+c)$

$y(x)=sqrt(1-e^(-2x+c))$

La soluzione non è corretta. Qualcuno saprebbe dirmi dove ho sbagliato?

[Studente Anonimo]

Ciao! La derivata di $y^2$ è $2*y*y'$, non $2*y'$.

[ronti1]

grazie mille Martino

[pilloeffe]

Ciao ronti,

Però il problema in realtà non si pone neanche perché se separi per bene le variabili non si ha ciò che hai scritto, ma si ha:

$\int 1/(1-y^2) \text{d}y = \int \text{d}x $

Da cui dovresti riuscire ad ottenere abbastanza facilmente la soluzione:

$y(x) = \frac{e^{2x} - k}{e^{2x} + k} $

[ronti1]

Però così ottengo

$(-2yy')/(1-y^2)=-2y rArr ln(1-y^2) + y^2=c$

Che non so risolvere

[ronti1]

"pilloeffe":

$\int 1/(1-y^2) \text{d}y = \int \text{d}x $


$y(x) = \frac{e^{2x} - k}{e^{2x} + k} $

Potresti spiegarmi questo passaggio?

[Studente Anonimo]

"ronti":Però così ottengo

$(-2yy')/(1-y^2)=-2y rArr ln(1-y^2) + y^2=c$

Ma non è vero, per poter fare questo passaggio stai assumendo che la derivata rispetto a $x$ di $y^2$ sia $2y$ ma non lo è, la derivata rispetto a $x$ di $y^2$ è $2yy'$.

[ronti1]

"Martino":[quote="ronti"]Però così ottengo

$(-2yy')/(1-y^2)=-2y rArr ln(1-y^2) + y^2=c$

Ma non è vero, per poter fare questo passaggio stai assumendo che la derivata rispetto a $x$ di $y^2$ sia $2y$ ma non lo è, la derivata rispetto a $x$ di $y^2$ è $2yy'$.[/quote]

Ma infatti io al denominatore ho $1-y^2$ e al numeratore ho $-2yy'$

Quindi posso scrivere $ln(1-y^2)$

No?

[Studente Anonimo]

Sì il logaritmo va bene, è l'altro addendo che è sbagliato. Comunque non si risolve come stai facendo tu. Ti faccio vedere.

$y'=1-y^2$

$dy/dx = 1-y^2$

$dy/(1-y^2) = dx$

$int dy/(1-y^2) = int dx$

Eccetera.

[ronti1]

E da qui in poi come lo risolvi?

[pilloeffe]

$ 1/(1 - y^2) = 1/2 (1/(y + 1) - 1/(y - 1)) $

[Fioravante Patrone1]

"Martino":Sì il logaritmo va bene, è l'altro addendo che è sbagliato. Comunque non si risolve come stai facendo tu. Ti faccio vedere.

$y'=1-y^2$

$dy/dx = 1-y^2$

$dy/(1-y^2) = dx$

$int dy/(1-y^2) = int dx$

Eccetera.

Abbiti la mia scomunica

[pilloeffe]

"Fioravante Patrone":Abbiti la mia scomunica

Appena sei comparso online sapevo che l'avresti scritto, era solo una questione di tempo...

[ronti1]

Continuo a non capire come siete giunti all'espressione di $y(x)$

[pilloeffe]

Beh vai avanti, il suggerimento ti è stato dato:

$ \int 1/(1 - y^2) \text{d}y = 1/2 (\int 1/(y + 1) \text{d}y - \int 1/(y - 1) \text{d}y) = \int \text{d}x $

$ \int 1/(y + 1) \text{d}y - \int 1/(y - 1) \text{d}y = 2 \int \text{d}x $

[ronti1]

Ah scusa pilloeffe non avevo letto il tuo commento. Gentilissimo.
Ora mi è chiaro.

Vi vorrei chiedere, nel caso in cui avessi avuto un espressione più complessa, ad esempio

$(y')/(y^3-sqrt(y)+2)= 1$

Come avrei potuto risolvere la equazione differenziale? Quale stratagemma avrei dovuto adottare?

[pilloeffe]

"ronti":Come avrei potuto risolvere la equazione differenziale?

Raramente le equazioni differenziali sono esplicitamente risolvibili, tranne nei casi semplici: per le altre si ricorre ad analisi qualitative e/o a metodi numerici.

[ronti1]

Chiaro! grazie

[Studente Anonimo]

"Fioravante Patrone":Abbiti la mia scomunica

qualcuno lo doveva pur fare il lavoro sporco ho anche pensato di evitare le ingegnerate ma poi dovevo uscire quindi ho rinunciato

Ciao Fioravante!