Equazione differenziale semplice.
Ciao a tutti.
sono alle prime equazioni differenziali ma ho un dubbio.
L'esercizio di esempio è il seguente:
$(1+y^2sin2x) -(2ycos^2x)y' = 0$
come potete vedere è molto semplice.
Innanzi tutto verifico che l'eq. diff. è esatta, in questo caso avrò: $d(1+y^2sin2x)/dy = 2ysin2x = d(-2ycos^2x)/dx$.
Bene questo mi torna, è tutto relativamente semplice.
Procedo con la risoluzione per quanto riguarda le eq. esatte.
Ho due possibilità di scelta:
la prima è questa $int_(xo)^(x) f(t,yo) dt + int_(yo)^(y) g(x,t) dt$
la seconda è questa: $int_(xo)^(x) f(t,y) dt + int_(yo)^(y) g(xo,t) dt$
Dove $Po=(xo,yo) = (0,0). $
Ho deciso di usare la prima risoluzione, quindi vado a sostituire: $int_(0)^(x) 1 dt + int_(0)^(y) -2tcos^2x dt$
Inizio con la semplice risoluzione e mi viene: $t|_0^x$ + $[-t^2cos^2x ]_0^y$.
Il problema è dunque il seguente: a me la soluzione viene: $x - y^2cos^2x$ mentre sulle dispense è: $y^2cos(2x)-2x+y^2=c$.
l'errore probabilmente è nell'integrale $int_(0)^(y) -2tcos^2x dt$ quindi vorrei sapere se è giusto o meno come l'ho calcolato io.
grazie.
sono alle prime equazioni differenziali ma ho un dubbio.
L'esercizio di esempio è il seguente:
$(1+y^2sin2x) -(2ycos^2x)y' = 0$
come potete vedere è molto semplice.
Innanzi tutto verifico che l'eq. diff. è esatta, in questo caso avrò: $d(1+y^2sin2x)/dy = 2ysin2x = d(-2ycos^2x)/dx$.
Bene questo mi torna, è tutto relativamente semplice.
Procedo con la risoluzione per quanto riguarda le eq. esatte.
Ho due possibilità di scelta:
la prima è questa $int_(xo)^(x) f(t,yo) dt + int_(yo)^(y) g(x,t) dt$
la seconda è questa: $int_(xo)^(x) f(t,y) dt + int_(yo)^(y) g(xo,t) dt$
Dove $Po=(xo,yo) = (0,0). $
Ho deciso di usare la prima risoluzione, quindi vado a sostituire: $int_(0)^(x) 1 dt + int_(0)^(y) -2tcos^2x dt$
Inizio con la semplice risoluzione e mi viene: $t|_0^x$ + $[-t^2cos^2x ]_0^y$.
Il problema è dunque il seguente: a me la soluzione viene: $x - y^2cos^2x$ mentre sulle dispense è: $y^2cos(2x)-2x+y^2=c$.
l'errore probabilmente è nell'integrale $int_(0)^(y) -2tcos^2x dt$ quindi vorrei sapere se è giusto o meno come l'ho calcolato io.
grazie.
Risposte
Per qualche strano motivo, si è messo a giocare con le costanti (e sinceramente non capisco perché). Le due soluzioni sono identiche a meno di un fattore $-2$ (ricordati la costante arbitraria): infatti
[tex]$y^2\cos(2x)-2x+y^2=2y^2\cos^2 x-y^2-2x+y^2=-2(x-y^2\cos^2 x)$[/tex]
Tu sei sicuro che non ci siano condizioni iniziali specifiche? Tipo che $(x_0,y_0)$ non sia l'origine ma qualche altro punto?
[tex]$y^2\cos(2x)-2x+y^2=2y^2\cos^2 x-y^2-2x+y^2=-2(x-y^2\cos^2 x)$[/tex]
Tu sei sicuro che non ci siano condizioni iniziali specifiche? Tipo che $(x_0,y_0)$ non sia l'origine ma qualche altro punto?
no no l'ho copiato pari pari... non so che dire... ho rifatto i calcoli almeno 5 volte e mi torna sempre così... alla 5 ho dato per buono il mio risultato...
A me sembra corretto quello che hai fatto.
grazie. 
ne prendo atto
ne prendo atto
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