Equazione differenziale secondo tipo
$y^(II) + y^I -6y = e^2t$
dal polinomio caratteristico ricavo come soluzioni $2$ e $-3$
vado a ricercare la soluzione particolare dall'equazione non omogenea
poichè la $k$ di $e^(2t)$ è 2 e quindi soluzione del polinomio caratteristico, secondo me la soluzione particolare è:
$At^r e^2t$ dove $r$ è l'ordine minimo di derivazione dell'equazione di partenza. Secondo me l'ordine minimo è $0$ quindi dovrei ottenere $A e^(2t)$ ma sul libro risulta $Ate^(2t)$ sbaglio io o sbagliano loro?
dal polinomio caratteristico ricavo come soluzioni $2$ e $-3$
vado a ricercare la soluzione particolare dall'equazione non omogenea
poichè la $k$ di $e^(2t)$ è 2 e quindi soluzione del polinomio caratteristico, secondo me la soluzione particolare è:
$At^r e^2t$ dove $r$ è l'ordine minimo di derivazione dell'equazione di partenza. Secondo me l'ordine minimo è $0$ quindi dovrei ottenere $A e^(2t)$ ma sul libro risulta $Ate^(2t)$ sbaglio io o sbagliano loro?
Risposte
la soluzione dell'omogenea associata è del tipo $z(t)=c_1e^(-3t)+c_2e^(2t)$, mentre il termine noto è del tipo $g(t)=e^(2t)$, quindi significa che siamo nel caso in cui tra la soluzione dell'omogenea e il termine noto c'è qualcosa in comune, qualcosa che è presente una sola volta, cioè $t^0$, allora la soluzione particolare è del tipo $y_p(t)=At^(1+0)e^(2t)=Ate^(2t)$
Non ho afferrato l'ultimo passaggio, perchè $t^(1+0)$ ? Cioè dipende se la soluzione è presente una o due volte?
si...
guarda il termine noto e guarda la soluzione dell'omogenea, se fai caso hanno in comune il termine $e^(2t)$, ora ti devi domandare: quante volte si ripete questo termine?...la risposta è una sola volta, quindi $1=t^0$, e quindi la forma della soluzione particolare sarà $y=At^(1+0)e^(2t)$
guarda il termine noto e guarda la soluzione dell'omogenea, se fai caso hanno in comune il termine $e^(2t)$, ora ti devi domandare: quante volte si ripete questo termine?...la risposta è una sola volta, quindi $1=t^0$, e quindi la forma della soluzione particolare sarà $y=At^(1+0)e^(2t)$
e se fosse comparso due volte sarebbe stato $At^(2+0)e^(2t)$ ?
grazie
grazie
no...sarebbe stato $At^3e^(2t)$...sostanzialmente devi aggiungere uno al numero di volte che si presenta...
"Lorin":
...sostanzialmente devi aggiungere uno al numero di volte che si presenta...
nell esempio iniziale era presente 1 volta quindi aggiungendo 1 al numero di volte che si presenta ottengo $At^(1+1)$ ?
scusami ma non mi è ancora chiaro
si ti capisco...da spiegare è un pò complesso...devi ragionare guardando anche la $t$, cioè io ho scritto $1=t^0$ per questo veniva come ti ho detto...
Comunque prova a riflettere sul fatto che la soluzione deve essere combinazione lineare di funzioni indipendenti, se tu avessi messo nella soluzione il termine $Ae^(2t)$ dopo avresti perso questa condizione, per questo metti $Ate^(2t)$
Comunque prova a riflettere sul fatto che la soluzione deve essere combinazione lineare di funzioni indipendenti, se tu avessi messo nella soluzione il termine $Ae^(2t)$ dopo avresti perso questa condizione, per questo metti $Ate^(2t)$
$y^(0+1)$ se è presente solo una volta ma le volte che è presente determina lo 0 oppure 1 ?
Sarà che ho l'esame tra 2 giorni e non capisco più niente
Sarà che ho l'esame tra 2 giorni e non capisco più niente
Ti scrivo in generale:
Una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata, se il termine noto ha qualcosa in comune con la soluzione dell'omogenea e questo fattore si ripete $x^k$ volte allora la soluzione particolare sarà del tipo $y_p=x^(k+1)f(x)$ con $f(x)$ termine in comune con la soluzione dell'omogenea.
Una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata, se il termine noto ha qualcosa in comune con la soluzione dell'omogenea e questo fattore si ripete $x^k$ volte allora la soluzione particolare sarà del tipo $y_p=x^(k+1)f(x)$ con $f(x)$ termine in comune con la soluzione dell'omogenea.
Forse ho capito 
se si ripete una sola volta $1=t^0$ a cui aggiungo sempre 1 quindi $t^(0+1)$
se si ripete 2 volte $2=t^(2)$ cui si aggiunge sempre 1 quindi $t^(2+1)$
Ma quindi non dipende dall'ordine minimo di derivazione?
se si ripete una sola volta $1=t^0$ a cui aggiungo sempre 1 quindi $t^(0+1)$
se si ripete 2 volte $2=t^(2)$ cui si aggiunge sempre 1 quindi $t^(2+1)$
Ma quindi non dipende dall'ordine minimo di derivazione?
Ci sono legami anche con l'ordine di derivazione è ovvio...infatti una volta che tu hai trovato la forma generale che è del tipo $x^(k+1)f(x)$ dovresti includere anche le sue derivate, affiancate da parametri generici che troverai applicando il metodo di somiglianza (dei coefficienti indeterminati), facendo attenzione al fatto che i termini devono essere tra loro linearmente indipendenti. In soldoni se la soluzione dell'omogenea è $z(t)=c_1e^(-3t)+c_2e^(2t)$ quando scrivo la forma della soluzione della completa il termine $Ae^(2t)$ non va messo perchè è già presente nella soluzione dell'omogenea; questo perchè una soluzione di una eq.differenziale la ottieni sommando alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare...
ok grazie mille
Comunque se prendi un qualsiasi libro di esercizi (io usai Salsa - Squellati : Esercizi di analisi matematica 2) li trovi spiegati meglio...e forse capisci tutto quello che qui, ahimè, non sei riuscita a capire!
io ho le equazioni differenziali in analisi1 quindi forse non ho tutte le conoscenze per capirle bene
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