Equazione differenziale secondo ordine omogenea
Buongiorno a tutti! Ho il seguente esercizio da risolvere ma mi sono bloccato sul parametro $alpha$ ; mi spiego meglio:
Determinare i valori del parametro reale $alpha$ tali che il problema
${y''+2y'+alphay=0$
${y(0)=0 , y(1)=0$
abbia soluzioni diverse da zero
Premetto che non ho tantissime difficoltà nel risolvere le equazioni differenziali e i problemi ma in questo caso è il parametro $alpha$ che mi crea un po' di dubbi. Quando passo all'equazione associata $alpha$ lo devo inserire o devo effettuare qualche calcolo dopo?
Cioè
$lambda^2+2lambda+alpha=0$ oppure $lambda^2+2lambda+1=0$ ?
Grazie a tutti!
Determinare i valori del parametro reale $alpha$ tali che il problema
${y''+2y'+alphay=0$
${y(0)=0 , y(1)=0$
abbia soluzioni diverse da zero
Premetto che non ho tantissime difficoltà nel risolvere le equazioni differenziali e i problemi ma in questo caso è il parametro $alpha$ che mi crea un po' di dubbi. Quando passo all'equazione associata $alpha$ lo devo inserire o devo effettuare qualche calcolo dopo?
Cioè
$lambda^2+2lambda+alpha=0$ oppure $lambda^2+2lambda+1=0$ ?
Grazie a tutti!
Risposte
$alpha$ è un parametro e come tale va considerato come se fosse un qualunque numero 
Grazie mille!!!
Aggiungo: il fatto che $\alpha$ sia un parametro, implica che, a seconda del suo valore, la soluzione dell'equazione cambia, non solo numericamente, ma anche e soprattutto nella forma in cui si presenta. Dovrai discutere casi differenti e vedere che tipo di soluzioni vengono fuori.
Continuando l'esercizio mi trovo così
$lambda^2+2lambda+alpha=0$
$Delta=4-4alpha=1-alpha$
$lambda_1=-1-sqrt(1-alpha)$
$lambda_2=-1+sqrt(1-alpha)$
Allora l'equazione differenziale ha soluzione generale
$y(x)=c_1e^(-1-sqrt(1-alpha))+c_2e^(-1+sqrt(1-alpha))$
A questo punto applicando le condizioni del problema mi trovo il sistema
${c_1+c_2=0$
${e^(-1)(c_1+c_2)=0$
Che mi da soluzioni $c_1=0 , c_2=0$ che purtroppo non è quello che mi chiede il problema. Infatti il valore di $alpha$ lo devo trovare! Ma in quale punto dell'esercizio lo devo trovare?
$lambda^2+2lambda+alpha=0$
$Delta=4-4alpha=1-alpha$
$lambda_1=-1-sqrt(1-alpha)$
$lambda_2=-1+sqrt(1-alpha)$
Allora l'equazione differenziale ha soluzione generale
$y(x)=c_1e^(-1-sqrt(1-alpha))+c_2e^(-1+sqrt(1-alpha))$
A questo punto applicando le condizioni del problema mi trovo il sistema
${c_1+c_2=0$
${e^(-1)(c_1+c_2)=0$
Che mi da soluzioni $c_1=0 , c_2=0$ che purtroppo non è quello che mi chiede il problema. Infatti il valore di $alpha$ lo devo trovare! Ma in quale punto dell'esercizio lo devo trovare?
A ok non avevo letto la risposta nella quale si dice che devo considerare i vari casi!!!
Il caso che fai tu è quello in cui supponi $1-\alpha>0$. Ma cosa accade quando $1-\alpha=0$ oppure $1-\alpha<0$?
A ok non avevo letto l'altra risposta! Allora il caso che ho scritto io è per $alpha=1$ e l'altro caso è $alphane1$ ? Oppure devo considerare anche altri casi? Chiedo scusa per tutte queste domande ma questa tipologia di esercizi mi manda in tilt!!!
Ok ok adesso mi metto a lavoro e vedo se riesco a uscirne negli altri due casi!!! Grazie mille!!!
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