Equazione differenziale secondo ordine non omogenea (soluzione particolare)

[f4747912]

Ragazzi ho questa equazione differenziale.. volevo sapere se era giusta la soluzione particolare .
Uso il metodo della somiglianza per risolvere

$y''-9y'+20y=x^2e^(4x)$

ho calcolato l'omogenea associata

$c1e^(5x) +c2e^(4x)$

fino a qua non ho dubbi.

la soluzione particolare deve essere di secondo grado, ma essendo $4x$ radice dell equazione caratteristica ho fatto cosi :

$x(ax^2+bx+c)e^(4x)$
da qui derivata prima e seconda ecc

Ho sbagliato qualcosa

[fisicarlo]

Non ha sbagliato niente, ma non hai completato l'esercizio:
$y_p(x)=(ax^3+bx^2+cx)*e^(4x)$
$d/(dx)y_p(x)=(3ax^2+2bx+c)*e^4x+4(ax^3+bx^2+cx)*e^(4x)=(4ax^3+4bx^2+4cx+3ax^2+2bx+c)e^(4x)=$
$=(4ax^3+(4b+3a)x^2+(4c+2b)x+c)e^(4x)$
$=(4ax^3+(3a+4b)x^2+(2b+4c)x+c)e^(4x)$

$d^2/(dx)^2y_p(x)=[(12ax^2+(6a+8b)x+2b+4c)+4(4ax^3+(3a+4b)x^2+(2b+4c)x+c)]e^(4x)$
$d^2/(dx)^2y_p(x)=(12ax^2+(6a+8b)x+2b+4c)+16ax^3+(12a+16b)x^2+(8b+16c)x+4c))e^(4x)$
$d^2/(dx)^2y_p(x)=(16ax^3+(24a+16b)x^2+(6a+16b+16c)x+8c+2b))e^(4x)$

Sostituendo nell'equazione:
$[(16ax^3+(24a+16b)x^2+(6a+16b+16c)x+2b+8c-9(4ax^3+(3a+4b)x^2+(2b+4c)x+c))+20(ax^3+bx^2+cx)]e^(4x)=x^2*e^(4x)$
$[(16ax^3+(24a+16b)x^2+(6a+16b+16c)x+2b+8c-36ax^3-(27a+36b)x^2-(18b-36c)x-9c))+20ax^3+20bx^2+20cx)]e^(4x)=x^2*e^(4x)$
$[(-3ax^2+(6a-2b)x+2b-c)=x^2$

$ { ( -3a=1 ),( 3a-b=0 ),( 2b-c=0 ):} $
$ { ( a=-1/3 ),( b=3a=-1 ),( c=2b=-2 ):} $

da cui finalmente:
$y_p(x)=(-1/3x^3-x^2-2x)*e^(4x)$

Puoi verificare da te che sostituendo questa soluzione nell'equazione l'equazione risulta verificata

[f4747912]

Ciao grazie mille, il mio dubbio era sulla soluzione particolare che spesso non riuscivo a determinarla .. grazie mille per lo svolgimento

[fisicarlo]

Se non vuoi più rischiare di sbagliare:
http://mmarras.altervista.org/equazioni_diff.pdf - pag.14
http://www1.mat.uniroma1.it/people/davini/andreadavini-home_files/didattica/2011/EqDifferenziali.pdf - pag. 12

Sono degli appunti spettacolari !!