Equazione differenziale secondo ordine non omogenea
Salve a tutti,
sto facendo un po' di esercizi sulle eq. differenziali del secondo ordine, e ho trovato questa:
$y''-2y'+y = t + 2te^t$
ho trovato la soluzione dell'omogenea, che è $y = Ae^t + Bte^t$ .
A questo punto ho notato che una soluzione particolare è ancora $c_1te^t$, che sarebbe la stessa cosa di $Bte^t$ (ho scritto una volta $B$ e una $c_1$ solo per distinguerle nel discorso) , e quindi vorrei capire come devo fare quando una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è già contenuta nel suo "nucleo"?
(Mi scuso prima se non ho usato termini assolutamente appropriati per descrivere il mio problema, non è che mi è chiarissimo questo argomento dal punto di vista teorico..)
Grazie in anticipo
Valentina
sto facendo un po' di esercizi sulle eq. differenziali del secondo ordine, e ho trovato questa:
$y''-2y'+y = t + 2te^t$
ho trovato la soluzione dell'omogenea, che è $y = Ae^t + Bte^t$ .
A questo punto ho notato che una soluzione particolare è ancora $c_1te^t$, che sarebbe la stessa cosa di $Bte^t$ (ho scritto una volta $B$ e una $c_1$ solo per distinguerle nel discorso) , e quindi vorrei capire come devo fare quando una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è già contenuta nel suo "nucleo"?
(Mi scuso prima se non ho usato termini assolutamente appropriati per descrivere il mio problema, non è che mi è chiarissimo questo argomento dal punto di vista teorico..)
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
Fai bene i conti. Quanto dici non è possibile: se \(cte^t\) verifica l'equazione omogenea come fa a verificare contemporaneamente la stessa equazione con dati iniziali non nulli? Questa è una contraddizione: stai dicendo, infatti, che \(0=t+2te^t\).
...oh, è vero. Perchè io avevo pensato che una soluzione particolare fosse $c_1t+c_2+c_3te^t$ , però non è così, ma non ho capito nè perchè, nè come sarebbe in realtà. Forse è al posto di $c_3te^t$ è $c_3t^2e^t$? Sono confusa 
Aspè, non ti impaperare. 
Queste cose voi fisici le potete capire bene perché hanno una interpretazione chiara: qui tu hai un sistema oscillante, che se lasciato per i fatti suoi segue questa legge:
\[y''-2y'+y=0,\]
(è un oscillatore armonico modificato dal termine \(-2y'\)). Integrando si ottiene \(y(t)=Ae^t+Bte^t\), dove le costanti saranno determinate dalle condizioni iniziali. E questo lo abbiamo capito.
Adesso vogliamo introdurre un termine forzante e vedere che succede. Il termine forzante è \(t+2te^t\), ovvero è la sovrapposizione di due forzanti distinte. Qui abbiamo un sistema lineare, quindi possiamo applicare un forzante alla volta e poi semplicemente sovrapporre i risultati (principio di sovrapposizione).
Cominciamo con l'applicare solo \(t\). Allora il sistema evolve secondo la legge
\[\tag{1} y''-2y'+y=t.\]
Vogliamo determinare una soluzione particolare di questa equazione, perché poi tutte le altre si otterranno sommando \(Ae^t+Bte^t\), come sappiamo dalla teoria. Qui ci sarebbe un metodo generale, quello della variazione delle costanti, ma è un po' lungo e perciò scegliamo di tirare ad indovinare: scommettiamo che esiste una soluzione di tipo \(y(t)=at+b\) (in gergo si dice che abbiamo fatto un ansatz: http://en.wikipedia.org/wiki/Ansatz ).
Inserendo \(y(t)=at+b\) nella (1) ci accorgiamo che si ottiene una identità per \(a=1, b=2\). Abbiamo così ottenuto una soluzione particolare della (1), e volendo potremmo ora esibire l'integrale generale di questa equazione. Ma l'equazione che interessa noi è un'altra perciò registriamo questo risultato ed andiamo avanti, cercando ora una soluzione particolare della
\[\tag{2} y''-2y'+y=2te^t.\]
Facciamo di nuovo un ansatz: stavolta scommettiamo che la soluzione è della forma \(y(t)=(a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0)e^t\) [size=85](*)[/size]. Inseriamo questo nella (2) e otteniamo la soluzione particolare \(y(t)=1/3 t^3 e^t\).
A questo punto consideriamo, finalmente, il sistema completo
\[\tag{3} y''-2y'+y=t+2te^t;\]
dal principio di sovrapposizione abbiamo che la funzione \(y_p(t)=(t+2)+1/3t^3e^t\) ne è una soluzione particolare, e quindi l'integrale generale si ottiene sommando a questa tutte le soluzioni dell'equazione omogenea, che corrispondono all'evoluzione del sistema imperturbato. Otteniamo
\[y(t)=(t+2)+\frac{1}{3}t^3e^t+A e^t + Bt e^t.\]
Il tutto modulo errori miei, naturalmente. Le costanti \(A\) e \(B\) sono determinate dalle condizioni iniziali del sistema.
___________
(*) Nel fare queste divinazioni ci possiamo aiutare con qualche trucco, come questo pdf:
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1139 (clic su eqdifflin.pdf ).
Queste cose voi fisici le potete capire bene perché hanno una interpretazione chiara: qui tu hai un sistema oscillante, che se lasciato per i fatti suoi segue questa legge: \[y''-2y'+y=0,\]
(è un oscillatore armonico modificato dal termine \(-2y'\)). Integrando si ottiene \(y(t)=Ae^t+Bte^t\), dove le costanti saranno determinate dalle condizioni iniziali. E questo lo abbiamo capito.
Adesso vogliamo introdurre un termine forzante e vedere che succede. Il termine forzante è \(t+2te^t\), ovvero è la sovrapposizione di due forzanti distinte. Qui abbiamo un sistema lineare, quindi possiamo applicare un forzante alla volta e poi semplicemente sovrapporre i risultati (principio di sovrapposizione).
Cominciamo con l'applicare solo \(t\). Allora il sistema evolve secondo la legge
\[\tag{1} y''-2y'+y=t.\]
Vogliamo determinare una soluzione particolare di questa equazione, perché poi tutte le altre si otterranno sommando \(Ae^t+Bte^t\), come sappiamo dalla teoria. Qui ci sarebbe un metodo generale, quello della variazione delle costanti, ma è un po' lungo e perciò scegliamo di tirare ad indovinare: scommettiamo che esiste una soluzione di tipo \(y(t)=at+b\) (in gergo si dice che abbiamo fatto un ansatz: http://en.wikipedia.org/wiki/Ansatz ).
Inserendo \(y(t)=at+b\) nella (1) ci accorgiamo che si ottiene una identità per \(a=1, b=2\). Abbiamo così ottenuto una soluzione particolare della (1), e volendo potremmo ora esibire l'integrale generale di questa equazione. Ma l'equazione che interessa noi è un'altra perciò registriamo questo risultato ed andiamo avanti, cercando ora una soluzione particolare della
\[\tag{2} y''-2y'+y=2te^t.\]
Facciamo di nuovo un ansatz: stavolta scommettiamo che la soluzione è della forma \(y(t)=(a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0)e^t\) [size=85](*)[/size]. Inseriamo questo nella (2) e otteniamo la soluzione particolare \(y(t)=1/3 t^3 e^t\).
A questo punto consideriamo, finalmente, il sistema completo
\[\tag{3} y''-2y'+y=t+2te^t;\]
dal principio di sovrapposizione abbiamo che la funzione \(y_p(t)=(t+2)+1/3t^3e^t\) ne è una soluzione particolare, e quindi l'integrale generale si ottiene sommando a questa tutte le soluzioni dell'equazione omogenea, che corrispondono all'evoluzione del sistema imperturbato. Otteniamo
\[y(t)=(t+2)+\frac{1}{3}t^3e^t+A e^t + Bt e^t.\]
Il tutto modulo errori miei, naturalmente. Le costanti \(A\) e \(B\) sono determinate dalle condizioni iniziali del sistema.
___________
(*) Nel fare queste divinazioni ci possiamo aiutare con qualche trucco, come questo pdf:
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... mento=1139 (clic su eqdifflin.pdf ).
Ok, ho capito; il problema è che anche io provo a fare un ansatz, ma non mi viene mai.. cioè, non mi veniva in questi casi qua, supponevo sempre una soluzione che non andava bene. Grazie!
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