Equazione differenziale secondo ordine non omogenea

[RoboCroppo]

Ciao, ho un problema con questa equazione differenziale. Devo usare il metodo della somiglianza, e non riesco a trovare la soluzione particolare per: $ (1-e^-x)^(-1) $
L'equazione nel suo completo è: $ y''-3y'+2y=(1-e^-x)^(-1) $

Grazie mille in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao LorenzoBottiglia,

Benvenuto sul forum!

L'equazione differenziale proposta si può scrivere nella forma equivalente

$y''-2y' - (y' - 2y) = (1-e^-x)^(-1) $

per cui la trasformerei in un'equazione differenziale del primo ordine ponendo $z := y' - 2y \implies z' = y'' - 2y' $, sicché l'equazione differenziale iniziale proposta diventa la seguente:

$ z' - z = (1-e^-x)^(-1) $

[RoboCroppo]

Grazie mille per il benvenuto e anche per la risposta così rapida!

Purtroppo il prof. non ci lascia usare queste trasformazioni, quindi io l'ho risolta prima trovando l'omogenea associata, che mi risulta: $ y_o(x)= Ae^-x +Be^(-2x) $

Poi per trovare la soluzione particolare dobbiamo usare il metodo di somiglianza o come li chiama il nostro prof i "metodi ad hoc", cioè:

(1) Se $ g(x)= $ polinomio, allora la soluzione particolare è del tipo: $ y_p(x)= k_nx^n+k_(n-1)x^(n-1)+...+k $;
(2) Se $ g(x)=re^(betax) $, allora la soluzione particolare è del tipo: $ y_p(x)=ke^(betax) $;
(3) Se $ g(x)=rsin(betax) $ / $ rcos(betax) $ allora la soluzione particolare è del tipo: $ y_p(x)=k_1sin(betax)+k_2cos(betax) $

Avendo la parte "non omogea" strutturata in quel modo non riesco a capire come farlo. L'unica cosa che mi era venuta in mente è stata $ k/(1-e^-x) $, però la soluzione non coincide e viene fuori una cosa spaventosa!

Grazie in anticipo!

[pilloeffe]

Il fatto è che il termine $ (1-e^-x)^(-1) $ non è in alcuna delle forme che hai citato, per cui col metodo di somiglianza la vedo dura...

L'equazione omogenea associata è $y''-3y'+2y = 0 $ che ha equazione caratteristica $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0 \implies \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$. Perciò la soluzione dell'equazione omogenea associata è la seguente:

$ y_o(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} $

A questo punto, se proprio non puoi usare il metodo suggerito nel mio post precedente, proverei col metodo della variazione delle costanti arbitrarie o metodo del Wronskiano.

[RoboCroppo]

Ecco perchè non riuscivo!

Grazie mille ancora, scusami del disturbo.

[pilloeffe]

"LorenzoBottiglia":Grazie mille ancora, scusami del disturbo.

Prego, figurati, nessun disturbo. Anzi, guarda, riporto la soluzione col suggerimento che ti ho dato, così, anche se la devi risolvere in un altro modo, hai il risultato.

Come è ben noto, la soluzione dell'equazione differenziale

$ z'(x) + a(x)z(x) = f(x) $

è la seguente:

$ z(x) = e^{-A(x)}(\int e^{A(x)} f(x) dx + c) $

ove

$A(x) := \int a(x) dx $. Nel caso in esame $a(x) = - 1 $ e $f(x) = frac{e^x}{e^x - 1} $, per cui si ha:

$ z(x) = e^x (\int e^{-x} frac{e^x}{e^x - 1} dx + c) = e^x(\int frac{dx}{e^x - 1} + c) = e^x (ln(e^x - 1) - x + c) $

Perciò la seconda equazione differenziale da risolvere è la seguente:

$y'(x) - 2y(x) = e^x (ln(e^x - 1) - x + c) $

Questa volta $ a(x) = - 2 $ e $ f(x) = e^x (ln(e^x - 1) - x + c) $, per cui si ha:

$y(x) = e^{2x}(\int e^{-2x} \cdot e^x (ln(e^x - 1) - x + c) dx + c_2) = e^{2x} \int e^{-x} (ln(e^x - 1) - x + c) dx + c e^{2x} = $
$ = e^{2x} (\int e^{-x} ln(e^x - 1) dx - \int x e^{-x} dx + c \int e^{-x} dx) + c_2 e^{2x} = $
$ = e^{2x} (ln(1 - e^{-x}) - e^{-x} ln(e^x - 1) + e^{-x} (x + 1) - c e^{-x}) + c_2 e^{2x} = $
$ = - c e^x + c_2 e^{2x} + e^{2x} ln(1 - e^{-x}) - e^x ln(e^x - 1) + e^x (x + 1) = $
$ = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + x e^x + e^{2x} ln(1 - e^{-x}) - e^x ln(e^x - 1) = $
$ = y_o(x) + y_p(x) $

avendo posto $c_1 := 1 - c $ la costante che moltiplica $e^x $,

$ y_o(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} $

(cosa che sapevamo già... ) e

$ y_p(x) = x e^x + e^{2x} ln(1 - e^{-x}) - e^x ln(e^x - 1)$

[RoboCroppo]

Grazie, super preciso.

PS: avevo sbagliato due conti