Equazione differenziale secondo ordine non omogenea

[f4747912]

ragazzi non mi trovo con questa equazione differenziale.
$y''-2y'+y$ $=$ $2e^X$

Allora ho risolto per prima l'omogenea associata e ho trovato poi l'integrale generale.
essendo il delta uguale a zero mi viene

$c1e^x+c2xe^x$

fino a qua sembra che ci siamo.. ora essendo 1 radice dell'equazione caratteristica devo rifarmi a

$\varphi$ $=$ $axe^x$

ora vado a farmi la derivata prima $ae^x(x+1)$
e la derivata seconda $ae^x(x+2)$

solo che nel momento in cui vado a fare il sistema mi si annulla tutto come è prossibile..

Provando con il wROSKIANO mi trovo come il libro..
vorrei capire dove sbaglio..

[@melia]

Il termine $axe^x$ è già compreso nella soluzione generale $c_1e^x+c_2xe^x$, per trovare la soluzione particolare devi lavorare con $\varphi=ax^2e^x$

[f4747912]

a quanto ho capito l'equazione caratteristica ha molteplicità due quindi mi trovo con quanto dici..
pero se vado a fare le derivate continua ad annullarsi .. è strano

[@melia]

Rifai i calcoli, a me viene $a=1$

[f4747912]

Si hai ragione mi trovo pure io.. alla fine questi tipi di esercizio assorbono tempo durante una prova d'esame. con il metodo del wroskiano si rischia di arrivare ad integrali da lavorarci parecchio sopra...

[fisicarlo]

Visto che proprio recentemente mi sono ristudiato le equazioni differenziali, uno dei tanti argomenti che i miei stramaledetti professori di matematica spiegavano in modo astratto senza mai far capire come affrontare PRATICAMENTE gli esercizi e risolvere i problemi, ti consiglio questo preziosissimo PDF che in maniera SEMPLICE e INTUITIVA ti svela una volta e per sempre il modo in cui affrontare la risoluzione di questo tipo di equazione differenziale.
Niente teoremi, corollari assiomi e balle varie: solo REGOLE PRATICHE per la risoluzione di esercizi:
http://mmarras.altervista.org/equazioni_diff.pdf
In particolare ciò che interessa a te sta scritto a pagina 14.
In breve, quando hai un termine noto del tipo $e^(alphax)*sin(betax)$ o $e^(alphax)*cos(betax)$ devi "estrarre" da questo termine il numero complesso $alpha + i*beta$, e controllare se questo numero coincide con una delle radici dell'equazione caratteristica. Se non coincide tutto a posto, è il caso facile. Ma se coincide, (come nel tuo caso in cui $alpha+i*beta=1+i*0=1=lambda$) anzichè prendere semplicemente $exp(alphax)$ dovrai prendere $x^h*exp(alphax)*(k_1*cos(betax)+k_2*sin(betax))$, dove nel tuo caso $h= 2$ (radice del polinomio caratteristico doppia) e $beta=0$ (assenza di termini seno e coseno nel termine noto). In definitiva nel tuo caso una soluzione particolare è data da $k*x^2*exp(alphax)=k*x^2*exp(x)$, perchè $alpha=1$

Io però te lo consiglio di tutto cuore: studiati quelle 20 pagine, e FATTI ANCHE GLI ESERCIZI per prendere dimestichezza con il metodo. Non ci vuole veramente niente (te lo dice uno negato con la matematica...) e alla fine sono anche divertenti !! Non ti dimenticherai mai più come si risolvono le equazioni differenzioali del seconodo orgine a coefficienti costanti non omogenee...


P.S.: qui ci sono delle altre dispense FAVOLOSE (e chiarissime...) sulle eq. differenziali, piene di esercizi per fare pratica
http://www1.mat.uniroma1.it/people/davi ... nziali.pdf

[dissonance]

niente teoremi, corollari, assiomi e balle varie

Parli come in una televendita ( ), ma non sei l'unico che critica i corsi universitari di equazioni differenziali. Anzi, la compagnia è delle più illustri:

https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/Rota.pdf

[fisicarlo]

"dissonance":

niente teoremi, corollari, assiomi e balle varie

Parli come in una televendita ( ), ma non sei l'unico che critica i corsi universitari di equazioni differenziali. Anzi, la compagnia è delle più illustri:
Ad esempio per un fisico dal Marcellini-Sbordone non si capisce nulla, mentre Analisi 2 diventa chiarissima, e anche
https://web.williams.edu/Mathematics/lg5/Rota.pdf

Il mio problema non è solo con le equazioni differenziali, è con il modo in cui si insegna la matematica a fisica, a mio parere COMPLETAMENTE FOLLE !! Matematici e fisici hanno approcci, modi di ragionare e finalità totalmente diversi, e un professore di matematica che insegna a fisica dovrebbe rendersi conto che a un fisico non importa nulla del rigore formale, ma a lui interessa imparare ad USARE degli STRUMENTI per fare i conti che gli interessano, e basta !!
affascinante e piacevole, studiata ad esempio da un libro come il Pagani-Salsa (guarda caso entrambi fisici e non matematici) ma mi rendo perfettamente conto che per un matematico un libro come il Pagani-Salsa sarebbe assolutamente intollerabile, e un professore che volesse usare un libro come quello a matematica sarebbe da denuncia penale, mentre il MArcellini-Sbordone andrebbe benissimo (x loro !!)

Parlo come in una televendita, lo so, ma guarda caso ogni volta che spiego la matematica ai ragazzi la capiscono benissimo, e mi chiedono perché il loro professori non la spiegano come la spiego io, che come la spiegano loro a scuola non si capise mai un c***o !!

P.S.: bellissima quella pagina di Wolfram che spiega come risolvere l'equazione di Eulero !!

[dissonance]

"fisicarlo": un libro come il Pagani-Salsa (guarda caso entrambi fisici e non matematici) ma mi rendo perfettamente conto che per un matematico un libro come il Pagani-Salsa sarebbe assolutamente intollerabile, e un professore che volesse usare un libro come quello a matematica sarebbe da denuncia penale

Ma non è vero, non esagerare. Il Pagani Salsa si usa in molte facoltà, e gli stessi autori sono riconosciuti come dei matematici (forse vuoi dire che sono laureati in fisica, e questo mi pare sia vero). Sei incazzato con i prof e io questo lo capisco. Ma è solo una fase. Fatto l'esame, il prof tu non lo vedi più, la matematica e la fisica invece si, e a quel punto sei tu a decidere come farle.

[fisicarlo]

"dissonance":[quote="fisicarlo"] un libro come il Pagani-Salsa (guarda caso entrambi fisici e non matematici) ma mi rendo perfettamente conto che per un matematico un libro come il Pagani-Salsa sarebbe assolutamente intollerabile, e un professore che volesse usare un libro come quello a matematica sarebbe da denuncia penale

Ma non è vero, non esagerare. Il Pagani Salsa si usa in molte facoltà, e gli stessi autori sono riconosciuti come dei matematici (forse vuoi dire che sono laureati in fisica, e questo mi pare sia vero). Sei incazzato con i prof e io questo lo capisco. Ma è solo una fase. Fatto l'esame, il prof tu non lo vedi più, la matematica e la fisica invece si, e a quel punto sei tu a decidere come farle.[/quote]

Si, ho esagerato perché prima (sbagliando) dicevo che i libri di un certo tipo facevano schifo in assoluto... Poi ho capito che facevano schifo PER ME, che non o capacità di astrazione, mentre ho una fortissima capacità intuitiva, e di visualizzazione mentale, per cui ad esempio il rotore e la divergenza non li capisco finchè non mi fai immaginare un fluido che ruota o che fuoriesce da una sorgente !! Ovviamente un'altra persona può capirlo senza bisogno di questi esempi "infantili", e quindi un libro che fa tutto in modo formale per loro va benissimo...

Dici che i professori non li vedo più... Ma se mi hanno spiegato la matematica e la fsica in un modo per me incomprensibile poi o mi scordo tutto, o mi tocca ristudiarmi tutto daccapo, come ho fatto per meccanica razionale, di cui non avevo capito neanche una virgola, finchè non ho trovato il meraviglioso Goldstein, dove non solo ho capito finalmente la meccanica razionale, ma anche i fondmaenti della meccanica quantistica (scomparsi ahimè dall'ultima edizione... )

Comunque grazie del tuo messaggio, molto bello e amichevole, lo apprezzo molto !!

[f4747912]

Io sto usando alcuni libri vecchi che a mio avviso sono meglio del pagani salsa..
Giuseppe zwirner non so se lo fanno piu.. io ho la versione del 90' .. ma è spiegato tutto molto bene...
Se girate su amazon si trova anche qualcosa di usato a poco prezzo