Equazione differenziale secondo ordine

[Galager]

Ciao a tutti potreste aiutarmi con questa equazione?
$y''=y'(1-y);$ $y(0)=-4, y'(0)=-8$
Ho provato a integrare una volta ottenendo $y'=y-y^2/2+c$ che volevo ricondurre a una Bernoulli ma con il parametro c credo non sia possibile.
Grazie mille!

[pilloeffe]

Ciao Galager,

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria non lineare autonoma (non compare la $x$) trattando $y$ come la variabile indipendente porrei $u(y) := (\text{d}y(x))/(\text{d}x) $

[gugo82]

Oppure puoi usare gli integrali definiti come il Signore comanda...

[Galager]

OK grazie, vedendola come un'equazione autonoma mi viene $u'=1-y; u(-8)=-4$ che mi ha condotto a $y'=y-1/2y^2+4; y(0)=-4$ che ha come soluzione y=$(-4e^(3(x+c))-2)/(1-e^(3(x+c))$ con $c=1/3log(1/4)$.
Per individuare l'intervallo massimale in cui la soluzione è definita considererei $(-infty,-1/3log(1/4))$ anche se durante la risoluzione dell'equazione ho dovuto dividere entrambi i membri per $y'$, non sono sicuro che sia sempre lecito ma in questo caso non dovrebbe verificarsi mai. Potrebbe essere corretto?

[gugo82]

"Galager":Ciao a tutti potreste aiutarmi con questa equazione?
$y''=y'(1-y);$ $y(0)=-4, y'(0)=-8$
Ho provato a integrare una volta ottenendo $y'=y-y^2/2+c$ che volevo ricondurre a una Bernoulli ma con il parametro c credo non sia possibile.
Grazie mille!

Innanzitutto, non è un’equazione, ma un P.d.C.

La soluzione, unica per noti fatti, è di classe $C^oo$ intorno al punto $0$, quindi è integrabile insieme ad ogni sua derivata.
Dalla EDO:

$y''(x) = y'(x) (1-y(x))$

integrando m.a.m. tra $0$ (estremo fisso) ed $x$ (variabile) e tenendo presenti le condizioni iniziali, si ricava:

$int_0^x y''(t) text(d) t = int_0^x y'(t) (1-y(t)) text(d) t => y'(x) - y'(0) = 1/2 (1-y(0))^2 - 1/2 (1-y(x))^2 => y'(x) = 9/2 - 1/2 (1 - y(x))^2$

ossia:

$ y'(x) = 1/2 (2 + y(x)) * (4 - y(x))$.

Questa EDO ha due soluzioni costanti, $y_**(x) = -2$ ed $y^** (x) = 4$, che non risolvono il P.d.C.; dato che la condizione iniziale $y(0) = -4$ è tale che $y(0) < -2$, per unicità tutta la soluzione $y(x)$ del P.d.C. è minore di $y_**(x)$.
Integrando nuovamente tra $0$ e $x$ otteniamo:

$ int_0^x (y'(t))/((2 + y(x)) * (4 - y(x))) text(d) t = 1/2 int_0^x text(d) t => log((2 + y(x))/(y(x) - 4)) + log 4 = 3 x$

da cui:

$ (2 + y(x))/(y(x) - 4) = 1/4 e^(3x)$

e si ricava $y(x)$ con pochi passaggi.

[Galager]

Ho visto che la prima parte ci siamo ricondotti allo stessa equazione al primo ordine ovvero$y'=4-1/2y^2+y$ poi nella riga successiva non mi tornano i conti che hai fatto, esce un addendo 40 al posto di 4, sbaglio?

[l'abatefarina]

sì, c'è stato un errore nella scomposizione
io direi di ripartire da $y'=y-1/2y^2+4$
passando alla scomposizione si ha $y'=1/2(y+2)(4-y)$
se non ho sbagliato i calcoli, il problema di Cauchy
$ { ( y'=1/2(y+2)(4-y) ),( y(0)=-4 ):} $
ha come soluzione
$y=(e^(3x)+2)/(1/4e^(3x)-1)$
la soluzione è strettamente decrescente, tende, per $ xrarr -infty $ , alla soluzione costante $y=-2$ dell'equazione $y'=1/2(y+2)(4-y)$ ed esplode in corrispondenza di $x=1/3ln4$

[gugo82]

@ Galager: Sì, ho scomposto a casaccio una differenza di quadrati...
Ora ho sistemato.