Equazione differenziale secondo ordine
ho l'equazione differenziale :
$y''-2y'+2y=e^x(3cos^2x+sinx-1)$
l'ho riscritta prima nella forma
$y''-2y'+2y=3e^xcos^2x+e^xsinx-e^x)$
ora trovo l'equazione omogenea associata:
$u^2-2u+2=0$ che ho $u_(1,2)=1+-i$
in fine:
$y_o(x)=e^x(c1cosx+c2sinx)$
ora vado a risolvere la prima particolare ... aiutandomi con wolframe mi dice di riscrivere:
$3e^xcos^2x$ in -->$(3e^(x))/2+(3e^xcos(2x))/2$ ho capito che ha usato le regole trigonometriche ma io non risco a capirlo cioè ha usato
$cos(2x)=2cos^2x-1$ ma poi come fa a trovarsi $(3e^(x))/2+(3e^xcos(2x))/2$
$y''-2y'+2y=e^x(3cos^2x+sinx-1)$
l'ho riscritta prima nella forma
$y''-2y'+2y=3e^xcos^2x+e^xsinx-e^x)$
ora trovo l'equazione omogenea associata:
$u^2-2u+2=0$ che ho $u_(1,2)=1+-i$
in fine:
$y_o(x)=e^x(c1cosx+c2sinx)$
ora vado a risolvere la prima particolare ... aiutandomi con wolframe mi dice di riscrivere:
$3e^xcos^2x$ in -->$(3e^(x))/2+(3e^xcos(2x))/2$ ho capito che ha usato le regole trigonometriche ma io non risco a capirlo cioè ha usato
$cos(2x)=2cos^2x-1$ ma poi come fa a trovarsi $(3e^(x))/2+(3e^xcos(2x))/2$
Risposte
Ciao.
Riguardo al tuo ultimo dubbio, sono state usate le cosiddette formule di bisezione (del coseno).
Vale, in generale, la formula di bisezione del coseno:
$cos(alpha/2)=pmsqrt((1+cosalpha)/2)$
quindi, nel "tuo" caso, si ha:
$cos^2x=(1+cos(2x))/2$
Saluti.
Riguardo al tuo ultimo dubbio, sono state usate le cosiddette formule di bisezione (del coseno).
Vale, in generale, la formula di bisezione del coseno:
$cos(alpha/2)=pmsqrt((1+cosalpha)/2)$
quindi, nel "tuo" caso, si ha:
$cos^2x=(1+cos(2x))/2$
Saluti.
allora non usa le regole di trigonometria?
Ciao.
Le formule di bisezione sono formule di tipo goniometrico.
A cosa alluderesti, esattamente, con "non usa le regole di trigonometria"?
Saluti.
Le formule di bisezione sono formule di tipo goniometrico.
A cosa alluderesti, esattamente, con "non usa le regole di trigonometria"?
Saluti.
cioè ha usato
$cos(2x)=2cos^2x-1$
$cos(2x)=2cos^2x-1$
Ciao.
Effettivamente si può usare direttamente anche la relazione
$cos(2x)=2cos^2x-1 Rightarrow cos^2x=(cos(2x)+1)/2$
che proviene dalla formula di duplicazione del coseno
$cos(2x)=cos^2x-sin^2x$
e da cui deriva anche la formula di bisezione che richiamavo in un mio precedente post.
Saluti.
Effettivamente si può usare direttamente anche la relazione
$cos(2x)=2cos^2x-1 Rightarrow cos^2x=(cos(2x)+1)/2$
che proviene dalla formula di duplicazione del coseno
$cos(2x)=cos^2x-sin^2x$
e da cui deriva anche la formula di bisezione che richiamavo in un mio precedente post.
Saluti.
ok nel mio caso come fa ad uscire $3/2e^x+3/2e^x cos2x$?
Semplicemente
$3e^xcos^2x=3e^x[(1+cos(2x))/2]=3/2e^x+3/2e^x cos2x$
Saluti.
$3e^xcos^2x=3e^x[(1+cos(2x))/2]=3/2e^x+3/2e^x cos2x$
Saluti.
ma non divido tutto per $3e^x$come fa uscire moltiplicato invece a destra?!
Non devi dividere, ma moltiplicare tutto per $3e^x$.
Infatti:
$cos^2x=(cos(2x)+1)/2 Rightarrow 3e^xcos^2x=3e^x[(1+cos(2x))/2]=3/2e^x+3/2e^x cos2x$
Saluti.
Infatti:
$cos^2x=(cos(2x)+1)/2 Rightarrow 3e^xcos^2x=3e^x[(1+cos(2x))/2]=3/2e^x+3/2e^x cos2x$
Saluti.
ahhhhh capito grazie sei stato gentilissimo e paziente!
Lieto di essere stato utile.
Se non fossi paziente, non sarei adatto a svolgere la mia professione.
Saluti.
Se non fossi paziente, non sarei adatto a svolgere la mia professione.
Saluti.
cmq la fine di tutta l'equazione mi esce:
$y(x)=x^x(c1cosx+c2sinx)+3/2e^x-1/2e^xcos2x-1/2xe^xcosx-e^x$
non so se lo fatta bene ma se qualcuno leggera il topic e vuole vedere qunato mi esce questo e il risultato...
$y(x)=x^x(c1cosx+c2sinx)+3/2e^x-1/2e^xcos2x-1/2xe^xcosx-e^x$
non so se lo fatta bene ma se qualcuno leggera il topic e vuole vedere qunato mi esce questo e il risultato...
Ciao.
Per vedere se il risultato è giusto, puoi semplicemente effettuare la prova, sostituendo l'integrale generale ricavato nell'equazione differenziale originale e verificando che l'uguaglianza sia soddisfatta.
Saluti.
Per vedere se il risultato è giusto, puoi semplicemente effettuare la prova, sostituendo l'integrale generale ricavato nell'equazione differenziale originale e verificando che l'uguaglianza sia soddisfatta.
Saluti.
in che senso... questa cos ami tornerebbe utile nell'esame
Direi.
L'equazione differenziale originale era data da
$y''-2y'+2y=e^x(3cos^2x+sinx-1)$
Per effettuare la prova, si deve considerare l'integrale generale $y=y(x)$ ricavato, calcolare $y'(x)$ e $y''(x)$ e sostituire nell'equazione; bisogna verificare che l'uguaglianza ottenuta risulti un'identità; in caso contrario, bisognerebbe ricontrollare tutte le procedure applicate e tutti i conti effettuati.
E' lo stesso principio su cui si basa la prova che si effettua in un'equazione ordinaria.
Chiaro?
Saluti.
L'equazione differenziale originale era data da
$y''-2y'+2y=e^x(3cos^2x+sinx-1)$
Per effettuare la prova, si deve considerare l'integrale generale $y=y(x)$ ricavato, calcolare $y'(x)$ e $y''(x)$ e sostituire nell'equazione; bisogna verificare che l'uguaglianza ottenuta risulti un'identità; in caso contrario, bisognerebbe ricontrollare tutte le procedure applicate e tutti i conti effettuati.
E' lo stesso principio su cui si basa la prova che si effettua in un'equazione ordinaria.
Chiaro?
Saluti.
si capito ma fare di nuovo le derivate prima e seconda dell'integrale generale ottenuto toglie molto tempo in un esame
Beh... questo è un altro problema.
Comunque, con un (bel) po' di allenamento nel fare i conti, puoi diventare più rapido nel loro svolgimento.
Saluti.
Comunque, con un (bel) po' di allenamento nel fare i conti, puoi diventare più rapido nel loro svolgimento.
Saluti.
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