Equazione differenziale secondo ordine
Ciao a tutti! Non riesco a risolvere questa equazione
$ y''+(y')^2-py=0 $
Dovrei determinare il parametro $ p in R $ per il quale l'equazione ammette almeno una soluzione polinomiale monica di secondo grado ( $ y(x)=x^2+bx+c $ con b e c reali).
Ho provato a sostituire $ y'=t(y) $ diventando così $ t*t'+t^2-py=0 $
ma ora come integro? Se mi spiegate ne sarei molto grata
Grazie a chi mi aiuta!
$ y''+(y')^2-py=0 $
Dovrei determinare il parametro $ p in R $ per il quale l'equazione ammette almeno una soluzione polinomiale monica di secondo grado ( $ y(x)=x^2+bx+c $ con b e c reali).
Ho provato a sostituire $ y'=t(y) $ diventando così $ t*t'+t^2-py=0 $
ma ora come integro? Se mi spiegate ne sarei molto grata
Grazie a chi mi aiuta!
Risposte
Scusami, ma se vuoi una soluzione della forma $y(x)=x^2+bx+c$, calcolando le derivate si ha $y'=2x+b,\ y''=2$ e sostituendo nell'equazione
$$2+4x^2+4bx+b^2-px^2-pbx-pc=0$$
Dal principio di identità dei polinomi segue
$$4-p=0,\ 4b-pb=0,\ 2+b^2-pc=0$$
e quindi $p=4,\ b\in RR,\ c={2+b^2}/4$. La soluzione è $y(x)=x^2+bx+\frac{b^2+2}{4}$
$$2+4x^2+4bx+b^2-px^2-pbx-pc=0$$
Dal principio di identità dei polinomi segue
$$4-p=0,\ 4b-pb=0,\ 2+b^2-pc=0$$
e quindi $p=4,\ b\in RR,\ c={2+b^2}/4$. La soluzione è $y(x)=x^2+bx+\frac{b^2+2}{4}$
non pensavo fosse così semplice 
grazie mille davvero!!!
grazie mille davvero!!!
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